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자막제공: SNOW.or.kr (본 자막은 SNOW 자원활동가들에 의해서 제작되었습니다) 입체 도형의 부피를 몇 개 더 구해 봅시다. 그리고 시간이 남는다면 겉넓이 문제를 몇 개 더 풀어 볼 수 있을 것 입니다.
그러니까 여기에 원기둥을 하나 그려 봅시다.
그러니까 이건 제 원기둥의 윗부분이 되겠습니다.
그러고 나서 이 부분은 제 원기둥의 높이가 됩니다.
바로 여기는 아랫부분이 됩니다.
만약 이 입체 도형이 투명하다면 여러분은 제 원기둥의 뒷부분을 볼 수 있겠지요.
그러니까 여러분은 이런 모양의 탄산 음료 캔을 상상하실 수 있을 겁니다.
그리고 제 원기둥의 높이를 h라고 하고
8이라고 해 봅시다. 단위를 부여해 보겠습니다. 8 센티미터 입니다.
이게 제가 가진 높이 입니다.
그러고 나서 이것들 중 하나, 내 원기둥의 윗부분, 혹은 탄산 음료 캔의 윗부분의 반지름을 말해 봅시다.
여기에 있는 반지름을 4 센티미터라고 해 봅시다.
그러니까 여기의 부피는 어떻게 될 까요?
부피는 몇이 될 까요?
그리고 여기의 이 개념은 우리가 이전의 문제에서 보았던 것들과 정확히 같은 개념입니다.
만약 여러분이 한 면의 겉넓이를 구할 수 있다면
그리고 도형이 얼마나 깊게 내려가는 지 구할 수 있다면, 여러분은 부피를 구할 수 있게 될 것입니다.
그러므로 우리가 여기서 하려고 하는 것은 이 원기둥의 윗부분의 겉넓이를 알아내려고 하는 것입니다.
탄산 음료 캔의 윗부분을 말입니다.
그러고 나서 우리는 도형의 높이와 이 윗부분을 곱할 것입니다. 그러면 부피를 구할 수 있겠지요.
이러한 과정은 얼마나 많은 제곱 센티미터가 이 윗부분에 들어갈 수 있는지 알려줄 것입니다.
그러고 나서 우리가 그것을 알게 되면, 만약 우리가 거기에 몇 센티미터나 깊게 아래로 내려갔는지 지를 곱하면
이 원기둥의 세 제곱 센티미터를 구할 수 있을 것입니다. 혹은 이 탄산 음료 캔이라고 말해도 되고요.
그러니까 우리가 어떻게 이 윗부분의 넓이를 알아내야 할까요?
음, 이 윗부분의 넓이는..
이 넓이는 그냥 원의 넓이를 구하면 됩니다.
여러분은 그 원을 이렇게 그려서 상상할 수 있습니다.
만약 우리가 원을 위에서 똑바로 바라본다면
이 원은 반지름이 4 센티미터인 원일 것입니다.
반지름이 4 센티미터인 원의 넓이는..
넓이는 파이 x r 의 제곱이니까
그러니까
파이 곱하기 반지름의 제곱이 될 것입니다.
곱하기 4 센티미터의 제곱을 합니다.
그러면
4 제곱은 16 이겠네요.
곱하기 파이를 하고
이제 단위는
제곱 센티미터가 될 것입니다.
혹은 다른 방식으로 생각하면 평방 센티미터가 되겠네요.
그러므로 이것이 이 도형의 넓이가 됩니다.
부피는
이 도형의 넓이 곱하기 높이 입니다.
그러니까 부피는 16 파이 제곱 센티미터
곱하기 높이 입니다.
곱하기 8 센티미터 입니다.
곱하기 8 센티미터를 하면..
여러분이 곱셈을 할 때
결합 법칙 (The associative property) 을 사용할 수 있을 것입니다.
이 수식을 재배열할 수 있을 것입니다.
여러분이 어떤 식으로 계산하든 순서는 관계 없습니다.
모두 곱셈으로 이루어져 있으니까요.
그러므로 이 수식은 16 곱하기 8과 같습니다.
어디 봅시다. 8 곱하기 8은 64 입니다.
16 곱하기 8은 저것의 두 배이니까
128 파이가 됩니다. 그러면 제곱 센티미터 곱하기 센티미터가 남습니다.
그러므로 세 제곱 센티미터가 됩니다.
혹은 128 파이 입방 센티미터가 됩니다.
기억하세요. 파이는 그냥 숫자입니다.
우리는 주로 파이라고 표기하는 데 왜냐하면 이 숫자가 완전히 제정신이 아닌 것처럼 불규칙한 숫자이기 때문입니다.
만약 여러분이 파이를 써 보려고 하면 결코 완전 끝까지 파이를 쓸 수 없을 것입니다.
3.1459 이러면서 계속 갑니다.
결코 반복되지도 않습니다.
그러므로 우리는 이것을 주로 그냥 파이라고 씁니다.
하지만 여러분이 계산하려고 한다면
여러분은 파이를 대략 3.14 라고 두고 계산 할 수 있을 것입니다.
곱하기 128을 합니다.
그러니까 여러분이 아시다시피 400에 가까운 수가 되겠네요.
입방 센티미터 입니다.
자, 이제 여기에 있는 이 도형의 겉넓이를 어떻게 구해야 할 까요?
음, 겉넓이 부분은 일단 윗부분과 아랫부분이 있습니다.
그러니까 이 부분이 겉넓이의 한 부분입니다.
그러고 나서 여기에 있는 아래 쪽도 또한 겉넓이의 한 부분입니다.
그러니까 만약 우리가 겉넓이를 구하고자 한다면
한 번 해 봅시다. 겉넓이.
원기둥의 겉넓이를 구해봅시다.
당연히 여기에 있는 두 부분도 포함됩니다.
그러니까 16 파이 제곱 센티미터의 두 배 입니다.
이 부분은 16파이 입니다, 이 부분도 16 파이 제곱 센티미터 입니다.
그러니까 2 곱하기 16 파이가 되겠네요.
단위는 제곱 센티미터 입니다.
단위는 그대로 반복하겠습니다.
그러니까 이 공식이 우리가 가진 탄산 음료 캔의 윗부분과 아랫부분을 의미합니다.
그리고 이제 여기를 두르고 있는 이 부분의 겉넓이를 구해야 할 필요가 있습니다.
그리고 저는 이런 식으로 상상합니다.
만약 여러분이 이 부분을 포장지로 감싸려고 한다고 상상해 봅시다.
그러니까 제가 그냥 그려 보겠습니다.
제가 그려볼 게요.
여기에 작은 점선을 그릴게요.
그러니까 여러분이 이런 식으로 자른다고 상상해 봅시다.
탄산 음료 캔의 옆 면을 자릅니다. 그리고 여러분이 감싼 것을 푼다고 가정해 봅시다.
만약 여러분이 감싼 것을 푼다고요.
이 부분에서 원기둥을 도는 겁니다.
그러면 여러분은 무엇을 갖게 될 까요?
음, 무언가는 갖게 되겠죠.
여러분은 결국 한 장의 종이를 얻게 될 것입니다.
바로 여기의 길이가
지금 여기의 선의 길이가
바로 여기에 있는 선의 길이와 같을 것입니다.
그러고 나서 완전히 감싼 것을 풀고 나면
그러고 나면 이 두 끝 부분이..
마젠타 색으로 그려 볼 게요.
이 두 끝 부분이 이전에 서로 맞닿아 있던 부분입니다.
그리고 제가 아직 사용하지 않은 색으로 그려 볼 게요.
핑크 색으로 골랐습니다.
이 종이가 서로 말려 있었을 때 이 두 부분은
서로 닿아 있던 부분입니다.
그리고 이 부분들은 바로 여기에서 서로 맞닿아 있었죠.
그러니까 이 변과 저 변의 길이는
제가 가지고 있는 원기둥의 높이와 같을 것입니다.
8 센티미터가 되겠지요.
그러고 나서 여기의 이 부분 또한 8 센티미터가 될 것입니다.
그리고 우리가 스스로에게 물었던 문제는,
문제는 바로 이 부분의 길이입니다.
그리고 이 길이는 본질적으로 우리가 원기둥을
얼마나 돌았는가 라는 점을 기억하세요.
음, 생각해 보면,
이것은 원기둥의 윗 부분,
혹은 아랫 부분의 원주와 정확히
일치할 것입니다.
그러니까 원주란 무엇일까요?
원의 원주는 바로 여기 입니다.
여기에 있는 원의 원주와도 정확히 일치하는 거지요.
원주는 2 곱하기 반지름 곱하기
파이 입니다. 혹은 2 파이 곱하기 반지름 입니다.
2 파이 곱하기 4 센티미터는 8 파이 센티미터 입니다. 그러므로 바로 여기의
길이는 원기둥의 윗 부분과 아랫 부분의 원주와 같습니다. 8 파이 센티미터가 되겠군요.
그러니까 여러분이 이 부분의 겉넓이를 구하고 싶다면 그냥 포장하십시오. 원기둥을 둘러싸고 있는 부분을 이야기하는 겁니다.
윗 부분과 아랫 부분이 아니라요. 이 부분을 감긴 것을 풀면 이런 직사각형이 될 것입니다.
그리고 이 부분은 그냥 8 센티미터 곱하기 8 파이 센티미터가 될 것입니다.
그러므로 계산해 봅시다. 64 파이가 되겠네요. 8 곱하기 8은 64니까요.
단위는 파이 제곱 센티미터 입니다. 그러니까 이 모든 것의 겉넓이를 구하고 싶다면
여러분은 윗 부분, 아랫 부분을 포함해야 합니다. 우리가 벌써 이 부분 계산은 했습니다. 그러고 나서 여러분은 여기
둘러싸인 부분을 계산해야 합니다. 방금 계산했었지요. 그러니까 더하기 64 파이 제곱 센티미터가 됩니다. 자, 이제
이 식을 계산해야만 합니다. 그러니까 2 곱하기 16 파이는 32이고, 32 파이 제곱 센티미터가 되겠네요.
더하기 64 파이 입니다. 화면을 조금 밑으로 내릴 게요. 더하기 64 파이 제곱 센티미터 입니다.
그러고 나서 32 + 64 = 96 파이 제곱 센티미터 입니다. 그러므로 96 파이 제곱 센티미터는 300 제곱 센티미터를 조금 넘겠네요.
그리고 겉넓이를 구할 때 주의하셔야 합니다. 정답을 제곱 센티미터 단위로 구해야 한다는 것을요. 이래야 말이 되는데 왜냐하면
겉면적은 이차원적인 측정이기 때문입니다. 우리는 원기둥의 표면에 얼마나 많은 제곱 센티미터가 들어가는 지
생각해 보는 거거든요. 부피를 계산했을 땐 세 제곱 센티미터가 나왔지요. 그 이유는 1 세 제곱 센티미터가 얼마나 들어가는 지
1 x 1 x 1 세 제곱 센티미터가 이 도형 안에 얼마나 들어갈 수 있는지 계산하는 것이었거든요. 그러니까 이런 이유로
왜 세 제곱 센티미터가 되는 지 알겠지요. 어쨌든 간에 이런 개념들이 좀 더 명확하게 이해됐길 바랍니다.