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곱셈을 배워봅시다.
곱하기.
어떤 일을 할 때 가장 좋은 길은 실제로 연습을 해 보는 것입니다.
그리고 예제를 통해 얘기하고,
의미하는 바를 알아내는 것입니다.
첫 번 째 예제는 2 곱하기 3으로 하겠습니다.
여러분은 아마 2 더하기 3은 무엇인지를 알고 계실겁니다.
2 더하기 3.
5가 됩니다.
조금 복습할 필요가 있다면 생각해 볼 수 있는데요,
2가 있는데요-- 잘 모르겠지만--- 2개의 자홍색---
이 색은--- 버찌.
여기에 블루베리 3개를 더할려고 합니다.
전부 합쳐서 몇 개의 과일을 가지고 있을까요?
여러분은 음, 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯 이라고 말씀하시겠네요.
또는 마찬가지로, 수를 나타내는 선이 있다고 하고,
이 것을 복습할 필요는 없지만, 해로운 것은 아닙니다.
개념을 강화하는 것이 해로운 것은 아닙니다.
여기 영, 일, 이 삼, 사, 오.
영의 오른 쪽에 2를 놓고 있는데요,
일반적으로 양의 방향은 오른쪽으로 놓습니다.
거기에 3을 더할려면,
오른쪽으로 3 칸을 이동합니다.
말씀드린대로 오른쪽으로 3 칸을 이동하면
결국 어디에 있나요?
일, 이, 삼.
결국 5에 있습니다.
그래서 어느 방법이건 2 더하기 3은 5가 된다는 것을 이해하실겁니다.
그럼 2 곱하기 3은 무엇일까요?
곱하기에 대하여 생각하기 쉬운 길은,
더하기를 계속 계속 하는 간단한 일이라는 것입니다.
그래서 의미하는 바는 좀 교묘합니다.
2에 3을 더할려고 하는 것이 아닙니다.
더할려고 하는---
생각해 볼 수 있는 길이 두 가지 있는데요.
2를 3 번 더할려고 합니다.
이 것이 무엇을 의미합니까?
음, 이 것은 2 더하기 2 더하기 2를 할려고 하는 것을 의미합니다.
이제 3은 어데로 갔나요?
음, 여기에 2 를 몇 개 가지고 있나요?
봅시다, 여기에 하나, 둘, 2를 두 개 가지고 있고,
2를 3개 가지고 있습니다.
여기에 있는 수를 세고 있습니다.
블루베리를 세었던 것과 같은 방법으로요.
하나, 둘, 세 개의 블루베리가 있습니다.
하나, 둘, 세개의 2가 있습니다.
그러면 이 3이 2를 몇 개 가지고 있는지를 말해줍니다.
그러면 2 곱하기 3은 얼마입니까?
음, 2를 3 번 더하였습니다.
그럼 2 더하기 2는 4.
4 더하기 4는 6이 됩니다.
이제 이 것이 생각해 볼 수 있는 단 하나의 길입니다.
생각해 볼 수 있었던 또 다른 길은,
2를 3 번 더하는 대신에,
3을 2 번 더하는 것이라고 할 수 있습니다.
좀 혼동이 되실 것으로 알고 있는데요,
좀 더 연습을 해 보시면 이해가 될 것입니다.
이제까지 말한 것을, 다시 써보겠습니다.
2 곱하기 3.
3 곱하기 2로도 쓸 수 있습니다.
그러면 3 더하기 3.
다시 한 번, 이 2는 어데로 갔냐고 말하실 것 같은데요.
제가 2 곱하기 3을 할려고하는 것을 알고 있습니다.
더하기를 할 때마다, 여기 2가 있고--- 이런, 잘 모르겠는데---
음, 버찌라고 했는데요, 하지만 나무딸기 또는 다른 어떤 것이라도 될 수 있는데요.
그러면 2 개, 3 개가 있습니다.
그리고 이 두 개와 세 개는 결코 사라지지 않습니다.
이 것들을 함께 더하면, 5가 됩니다.
그러나 2 곱하기 3을 얘기하고 있는 중입니다.
3 더하기 3과 같은가요?
이 2는 어디로 갔나요?
이 경우에 2는, 이 각본에서는,
3을 몇 번 더할 것인가를 말해주고 있는 것입니다.
그러나 흥미로은 것은, 2 곱하기 3을 어떤 방법으로 해석한다 하더라도,
2 더하기 2 더하기 2 로 해석할 수 있다는 것입니다.
또는 2를 3 번 더한다는 것으로요.
이 방식으로 설명할 수도 있고,
3을 2 번 더하는 것으로 해석할 수도 있습니다.
그러나 같은 답을 얻었음에 주의하여야 합니다.
3 더하기 3은 얼마입니까?
6이 됩니다.
이는 아마도 산수를 하시면서 맞게 되는
최초의 깔끔한 방법일 것입니다.
때로는, 하는방법과는 상관 없이,
올바른 방법을 사용하는한, 같은 답을 얻게됩니다.
그래서 두 사람이 여러 종류로 시각적으로 나타낼 수 있지만---
바르게 시각적으로 나타냈다면,
두 개의 다른 문제이지만, 같은 해답에 이르게 됩니다.
아마 여러분은 이렇게 말씀하실텐데요,
선생님, 이런 곱하기가 언제 유용한가요?
여기 유용한 것을 보여드리겠습니다.
때로는 세는 것을 간단하게 해 줍니다.
여기에 음---
과일을 가지고 했던 것 처럼 해봅시다.
유추를 하는 것은---
음, 너무 깊숙히 들어가지는 않겠습니다.
하지만 과일 예제를 하겠습니다.
레몬이 있다고 합시다.
레몬 한 무더기를 그리겠습니다.
세 개의 가로줄에 그리겠습니다.
그러면 하나, 둘, 셋--- 음, 다 세지는 않을려고합니다.
왜냐하면 답을 다 알려주기 때문입니다.
한 무더기의 레몬을 그렸습니다.
이제, 여기에 레몬이 몇 개 있는지를 얘기하라고 하면,
이렇게 하면,
여러분은 이 레몬 전부를 세어 나갈 것입니다.
그리고 오래 걸리지 않아,
하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟, 아홉, 열, 열하나, 열두 개의 레몬이라고 할 것입니다.
실제로는 여러분에게 이미 답을 말해드렸습니다.
우리는 여기에 12개의 레몬이 있는 것을 알고 있습니다.
그러나 더 쉬운 길이,
레몬의 수를 셀 수 있는 더 빠른 길이 있습니다.
각각의 가로 줄에 몇개의 레몬이 있는지 주의해 보세요.
가로 줄은 레몬의 끝에서 끝까지 입니다.
가로 줄이 무엇인지는 아실 것으로 생각합니다.
여러분에게 말씀해 드리고 싶지는 않습니다.
그럼 하나의 가로줄에 레몬이 몇 개 있습니까?
음, 하나의 가로줄에 레몬이 3개 있습니다.
다른 질문 하나를 드리겠습니다.
가로줄이 몇 개 있습니까?
음, 이 것이 하나, 이 것은 두 번 째 가로줄,
이 것은 세 번 째 가로줄, 이 것은 네 번 째 가로줄입니다.
세는데에 쉬운 길은, 가로줄 마다 3개의 레몬이 있다고 하고,
가로줄이 4 개 있다고 하는 것입니다.
가로줄 마다 3 개의 레몬이 있다고 합시다.
여러분을 혼동시키고 싶지는 않지만, 여러분이 즐기실 것으로 생각합니다.
그러면 4개의 가로줄이 있습니다.
그래서 4 곱하기 3 개의 레몬이 있습니다.
4 곱하기 3 개의 레몬.
그리고 이 것은 여기에 있는 레몬의 갯수, 12와 같아야합니다.
방금 더하기로 했던 것을 가지고 구체화하기 위하여,
이 것을 생각해 봅시다.
4 곱하기 3, 글자 그대로 ---
4 곱하기 3 이라고 실제로 말 할 때에는,
이 것을 시각화 해 보겠습니다.
4 곱하기 3을 시각화 해 보겠습니다.
그럼 3 이 4 번.
3 더하기 3, 더하기 3, 더하기 3.
이렇게 하면 답은:
3 더하기 3은 6.
6 더하기 3은 9.
9 더하기 3은 12.
이 강의의 이 부분에서 우리는 배웠는데요,
이와 같은 곱하기는 3 곱하기 4로
해석될 수도 있다는 것을
배웠습니다.
순서를 바꿀 수 있습니다.
이 것이 곱하기의 성질 중에서 실제로 유용하고,
흥미있는 것 중의 하나입니다.
이 것은 4 가 3 번으로 쓸 수도 있습니다.
4 더하기 4, 더하기 4.
4를 3 번 더했습니다.
4 더하기 4는 8.
8 더하기 4는 12.
미국에서는 항상 4 곱하기 3이라고 말하지만,
제가 만났던 분들과
제 가족 중에 많은 분들은 이렇게 배웠습니다.
영국식이라고 부를 수 있습니다.
종종 사 삼, 또는 삼 사 라고 부릅니다.
어떤 면에서는 좀 더 직관적입니다.
처음 들으셨을 때에는 직관적이 아니겠지만,
이 곱하기 문제를 쓰거나,
이 곱하기 문제를 말할 것입니다.
사 삼은 얼마지요? 라고 말할 것입니다.
사 삼이라고 말할 때에는
글자그대로, 사 삼은 얼마이지? 라고 말하고 있는 것입니다.
여기 3이 하나, 3이 두 개, 3이 세 개, 3이 네 개입니다.
다 더하면 사 삼은 얼마입니까?
12입니다.
그리고 삼 사는 얼마이지? 라고도 말할 수 있습니다.
이 것을 써 보겠습니다.
다른 색으로 써 보겠습니다.
사 삼입니다.
글자 그대로 3이 네 개 있는 것을 의미합니다.
사 삼을 쓰고, 그 것을 더하라고 하면,
그 것이 그 것인 것입니다.
4 곱하기 3입니다.
또는 3이 4 번입니다.
이 것은--- 다른 색으로 해 보겠습니다,
이 것이 삼 사 입니다.
3 곱하기 4로도 쓸 수 있습니다.
모두 12가 됩니다.
아마 이렇게 말할 수 있는데요,
오케이, 멋있습니다, 좀 멋진 기술입니다, 선생님,
선생님이 가르쳐 주셨습니다.
이 레몬을 세는데에 여러분이 알고 있던 것보다는
시간이 덜 걸렸습니다. 이 문제를 해 보십시요.
무엇보다도, 여러분이 곱하기에 처음이기 때문에 지금 당장 할 수 있는 유일한 것입니다.
하지만 여러분이 아시게 될 것은 몇 번이 있고,
실제로 여러 번이 있다는 것입니다.
몇 번 이라는 단어를 곱셈 강의에서 너무 많이 사용하고 싶지는 않습니다.
레몬의 가로줄 각각에는,
3개를 가지고 있는 대신에
100개의 레몬을 가지고 있을 수도 있습니다.
100 개의 가로줄이 있을 수도 있습니다.
이 레몬을 다 셀려면 시간이 영원히 걸릴 수도 있고,
이런 곳에 곱셈이 유용하게 됩니다.
비록 지금 당장 100에 100을 곱하는 것을 배우지는 앟겠지만...
지금 여러분에게 알려드리고 싶은 것은,
이 것은 일종의 기술이고,
제 누이를 생각해보면, 누이가 저보다 얼마나 더 똑똑했는지를 보여드릴려고 하면,
제가 유치원에 다니고 있었고 그 때 누이는 3학년에 있었는데요,
누이가 저에게 '3곱하기 1은 얼마지?'하고 물었습니다.
그래서 나는, 내 머리가 말하는대로,
음, 그 것은 3 더하기 1과 같다고 하고,
3 더하기 1은 4라고 말했습니다.
그리고 나는
3 곱하기 1은 4가 되어야한다고 말했습니다.
누이는, '아니야, 바보야, 3이 답이야'라고 말했습니다.
나는 '어떻게 그렇게 되지?' 했던 것 같습니다.
3 곱하기 다른 수가 어떻게 같은 수로 다시 될 수 있는지요?
이 것이 의미하는 바를 생각해 봅시다.
이 것을 1 이 3 개로 시각화 할 수 있습니다.
1 이 3 개는 무었입니까?
1 하나, 더하기 다른 1, 더하기 다른 1.
3 이 됩니다.
또는 이 것을 3 이 1 번으로 할 수도 있습니다.
3 이 1 번이면 얼마입니까?
얼마나 쉬운 일입니까!
그냥 3입니다.
이 것은 일 삼 입니다.
일 삼으로 쓸 수 있습니다.
이 것이 어 떤 수에 1을 곱하면
또는 1 에 어떤수를 곱하면,
그 어떤 수가 되는 이유입니다.
그러면, 3 곱하기 1 은 3 입니다.
1 곱하기 3 은 3 입니다.
그러면 100 곱하기 1 은
100 인 것을 알고 있을 것입니다.
1 곱하기 39 는
39 라고 말할 수 있습니다.
이제는 이와 같이 큰 수에도 익숙할 거라고 생각합니다.
재미있습니다.
곱하기에 관하여 정말로 재미있는 것이 하나 있습니다.
그 것은 0 으로 곱할 때입니다.
덧셈을 할 때의 예제로 시작해 보겠습니다.
3 더하기 0 은, 배우셨기를 바라는데요,
3 입니다.
왜냐하면 3 에 아무 것도 더하지 않았기 때문입니다.
여러분이 사과 3개를 가지고 있는데,
제가 사과 0개를 더 준다면,
여러분은 아직도 시과 3개를 가지고 있는 것입니다.
하지만 3은---
제가 숫자 3에 너무 집착하는 것 같은데요---
음, 바꾸어 보겠습니다---
4 곱하기 0은 얼마입니까?
음, 이 것은 0 을 4번 얘기하는 것입니다.
그러면, 0 더하기 0, 더하기 0, 더하기 0 은 얼마입니까?
음, 0 입니다!
맞지요? 없는 것, 더하기 없는 것, 더하기 없는 것, 더하기 없는 것.
그래서 아무 것도 없습니다.
다르게 생각해 볼 수 있는 길은,
4를 0 번 얘기하는 것입니다.
4를 0 번이라고 어떻게 쓸 수 있을까요?
아무 것도 쓰지 않았습니다, 맞지요?
왜냐하면, 제가 무엇인가를 쓴다면,
4를 한 번 쓴다면, '4가 없다'는 것을 쓴 것이 아니기 때문입니다.
그러면 이 것은---
그러면 이 4는---
이 것을 써 보겠습니다---
이 것이 0 이 4 번입니다.
하지만 4 를 0 번 쓸 수도 있습니다.
그러면 4 가 0 번인 것은 무엇일까요?
음, 여기에 큰 공백을 그렸습니다.
여기에, 썼습니다!
여기에 4 가 0 번 있습니다!
그래서 그냥 큰 공백입니다.
이 것이 또 다른 재미 있는 일입니다.
그래서, 어떤 수에 0 을 곱하면 0 입니다!
아주 큰 수를 쓸 수 있습니다.
오백 사십 구만 삼천 육백 구십 이
곱하기 0.
무엇이 될까요?
0 이 됩니다.
그럼,
이 수에 1을 곱하면 얼마일까요?
음, 그 수가 다시 됩니다.
0 곱하기 17은 얼마입니까?
다시 한 번, 0 이 됩니다.
어찌되었건, 충분히 오래 얘기한 것 같습니다.
다음 강의에서 뵙겠습니다!