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과학을 하게 되면 많은 수를 다루게 될거라는 것은 의심의 여지가 없습니다.
생물학, 화학 또는 물리학을 하는 것에 상관 없이
수를 다루어야만 합니다.
그리고 많은 경우에 수는 아주 큽니다.
아주 아주 큰 수가 있습니다.
아주 큰 수거나, 아주 작은,
아주 작은 수입니다.
아주 큰 수를 상상하실 수 있을 것입니다.
인체에는 얼마나 많은 원자가 있냐고
질문을 한다면?
또는 인체에는 얼마나 많은 세포가 있습니까?
또는 지구의 질량이 몇 킬로그람입니까?
이 것들은 아주 큰 수입니다.
전자의 질량이 얼마인지 묻는다면,
그 것은 아주, 아주 작은 수가 될 것입니다.
그래서 어떤 과학을 하건, 이러한 수들을 다루게 됩니다.
그냥 예제로서, 여러분에게 상수 중의 하나를
보여드릴려고 하는데, 특별히 화학에서는,
아보가드로수 라고 불리는 것입니다.
아보가드로 수.
이 수를 그냥 표준적인 방법으로 적는다면,
글자로는 이렇게 되는데
새로운 색으로, 6 0 2 2 그리고
20 개의 0 을 붙여야합니다.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 18, 19, 20.
여기에 콤마를 넣는다고 하여도,
읽기에 더 좋은 상황으로 만들어주지는
않습니다.
여기에 콤마를 넣겠습니다.
아직 큰 수입니다.
이 것을 종이에 적어야만 했거나, 아보가드로 수를
가지고논문에 써야 했다면
이 것을 적는데 평생이 걸렸을 수도 있습니다.
그리고 더더욱, 0 하나를 빠뜨렸을 수도 있고,
0 을 너무 많이 넣었을 수도 있습니다.
그래서 여기 문제가 있습니다.
이 것을 적을 수 있는 더 좋은 방법이 있을까요?
이 것을 적을 때 지금 한 것 보다 더 좋은 방법이
있을까요?
글자로 적기 위하여 6 다음에 23 자리수를 넣을 수도 있고,
6 0 2 2 다음에 20 개의 0 을 넣을 수도 있습니다.
질문에 답하기 위하여, 여러분이 호기심이있으시다면,
아보가드로 수는, 탄소 12 그람이 있으면,
특히 탄소-12의 12 그람이 있으면, 그 안에
원자가 몇 개 있습니까?
아시다시피, 12 그람은 50분의 파운드 정도입니다.
이 것이 얼마나 많은 원자가 있는지에 대하여
아이디어를 줍니다.
아주 큰 수입니다.
여기에서 요점은 여러분에게 화학을 가르칠려고 하는 것이 아니라는 것입니다.
여기에서 말하고자 하는 요점은 이 것을 나타낼 수 있는 쉬운 방법입니다.
이 것을 쉽게 나타낼 수 있는 방법을
과학적 표기 라고 부릅니다.
과학적 표기.
여러분에게는 조금 부자연스러울 수 있지만, 이렇게 하면
적는 일을 아주 쉽게 할 수 있는
길입니다.
어떻게 하는지를 보여드리기 전에,
과학적 표기 뒤에 있는 기초이론을 보여드리겠습니다.
10 의 0 제곱은 얼마입니까?
1 임을 알고 있습니다.
10 의 1 제곱은 얼마입니까?
10 입니다.
10 의 제곱은요?
10 곱하기 10 이니까, 100 입니다.
10 의 3 제곱은요?
10 의 3 제곱은 10 곱하기 10 곱하기 10 이니까
1,000 입니다.
여기에서 일반적인 패턴을 보셨을 것으로 생각합니다.
10 의 0 제곱에는 0 이 없습니다.
0 이 없지요, 그렇지요?
10 의 1 제곱에는 0 이 1.
10 의 2 제곱에는,
10 의 2 제곱은 0 이 2 개가 있고, 마지막으로, 10 의
3 제곱에는 0 이 3 개 있습니다.
헛수고를 하고싶지는 않지만, 여러분이 아이디어를
얻었을 것으로 생각합니다.
3 개 의 0.
10 의 100 제곱을 한다면,
10 의 100 제곱, 여러분에게는 어떻게 보이십니까?
여기에 다 쓰고 싶지는 않은데요, 1 다음에
100 개의 0 이 따라 온다는 것을 추측하실 수 있을 것입니다.
아주 많은 0 이지요.
이 0 을 모두 세어보면,
바로 100 개를 얻을 것입니다.
그리고 실제로, 여담이지만 흥미로울 수 있습니다.
이 수를 어떻게 부르는지를 아실 수도 모르실 수도 있을 것입니다.
이 수를 구골이라고 부릅니다.
구골.
1900년대 초기에, 어떤 분이 이 것이 구골이라고 했다면,
검색엔진을 생각할 수도 없었을 것이고,
10의 100 제곱이라고 생각했었을 수도
있습니다.
아주 큰 수 입니다.
실제로 이 수는 알려진 우주의 모든 원자의 수 또는
추정되는 수보다도 더 큰 수입니다.
알려진 우주의 모든 원자의 수.
이 이외에 무엇이 있을까 하는 문제를
제기합니다.
제가 이 것을 공부한 것은 그리 오래 되지 않았습니다.
기억해보면, 알려진 우주에 있는 원자의 수는
10 의 79 제곱 에서 81 제곱 정도입니다.
물론 이 것은 개략적인 것입니다.
누구도 이 이 것을 셀 수는 없겠지요.
사람들은 단지 추정하는 것이고, 더 잘
추정할려고 하는 것입니다.
하여튼 아주 큰 수 입니다.
여러분에게 더욱 흥미로울 것은, 이 수가
아주 유명한 검색엔진 회사 구글의 작명 동기가
되었다는 것입니다.
구골 은 "ol"로 끝납니다.
왜 이 구골을 구글로 불렀는지는 모르겠습니다.
아마도 도메인 이름을 가지고 있었거나, 아주 많은 정보를 담고 있기를
원했을 것입니다.
이렇게 많은 정보를 의미하거나,
그냥 좋은 말 자체일수도 있습니다.
무엇이 되었건, 창립자가 좋아했던
수였을 것입니다.
하여튼 별 거 아닙니다.
이야기가 옆으로 빗나갔습니다.
이 것이 구골입니다, 1 다음에 0 이 100 개입니다.
이 것을 10 의 100 제곱이라고 동등하게 쓸 수 있습니다.
이 것이 분명히 쉬운 길이고, 이를 나타내는데
쉬운 길입니다.
이 쪽이 더 쉽습니다.
사실, 쓰기가 어려워서
문제가 있는지도 모릅니다.
저를 영원히 데리고 갔었을 수도 있습니다.
바로 여기 20 개의 0 입니다.
100 개의 0 은, 제가 이 스크린을 가득 채우면,
여러분은 싫증이 나실 것이어, 쓰지는 않겠습니다.
명백히 쓰기에 더 편합니다.
생각을 잘 해보시면, 10 에 대한 지수로 나타내는 것이
좋지요? 그렇지 않습니까?
하지만 10 의 제곱이 아닌 것은 어떻게
표기할 수 있습니까?
단순화를 위하여 지수를 어떻게 사용할 수 있습니까?
단순화를 위하여 지수를 어떤 식으로던 사용할 수 있습니까?
이렇게 할려면, 실상을 아실 필요가 있습니다.
이 수는 이렇게 쓸 수 있습니다.
그러면 세 개의 숫자와
20 개의 0 을 가지고 있습니다.
그래서 6 다음에 23 개 의 숫자를 가지고 있습니다, 그렇지요?
6 다음에 23 개의 숫자.
이 수를 10 에 대한 지수로 나타내면
어떻게 됩니까?
10 의 23 제곱이라고 하면 어떻게 됩니까?
이 자홍색으로 나타냈습니다.
10 의 23 제곱
이 것은 무엇과 같습니까?
이 것은 1 다음에 0 이 23 개 있는 것과 같습니다.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 18, 19, 20, 21,
22, 23.
아이디어를 얻었습니다.
10 의 23 제곱입니다.
어떤식이던 이 것을 이렇게 쓸 수 있습니다.
이 것에 6 을 곱하면,
6 에 10 의 23 제곱을 곱하면 무엇이 됩니까?
그냥 6 다음에 23 개의 0 이 있는 것입니다.
6 이 있고 그 뒤에 0 이 23 개 있는 것입니다.
쏘 보겠습니다.
이처럼 23 개의 0 을 가지게 될 것입니다.
여기에 6 을 곱하면, 어떻게 곱하는지를 아시고 계실텐데요,
이 1 에 6 을 곱하여, 6 을 얻었고,
6 곱하기 모든 0 은 모두 0 이 됩니다.
그래서 6 다음에 23 개의 0 이 오게 됩니다.
아주 쓸모가 있습니다.
하지만 아직, 이 수에 완전히 도달한 것은 아닙니다.
제 뜻은, 이 수 안에 숫자 2 가 있다는 것입니다.
그러면 어떻게 조금 더 좋게 할 수 있을까요?
소수로 나타내면 어떨까요?
이 수, 바로 여기에 있는 이 수는 이 2 들이 0 이었다면
같은 수가 되었을 것입니다.
하지만 여기에 이 2 들을 넣고 싶으면,
무엇을 하여야 했을까요?
여기에 소수점을 찍을 수 있습니다.
이 것이 6.022 곱하기 10 의 23 제곱과 같다고
할 수 있습니다.
이 수는 이 수와 같은 것이지만
쓰기에는 훨씬 더 쉽습니다.
여러분이 하고 싶으시면 확인해보실 수 있습니다.
시간이 오래 걸립니다.
우선 작은 수로 해보아야 합니다.
하지만 6.022 곱하기 10 의 23 제곱을 하고,
그 것을 모두 쓰면, 바로 여기에 있는 이 수를 얻게됩니다.
아보가드로 수를 얻을 것입니다.
아보가드로 수.
이 것이 복잡하기는 하지만, 여러분에게 처음에는
직관적으로 보이지는 않을 것입니다.
이 것은 단지 수를 쓴 것 뿐입니다.
곱셈이 있고 그 다음에 10 의 지수를 했습니다.
간단하지는 않다고 말씀하실 수도 있습니다.
하지만 실제로는 간단합니다.
여기에 얼마나 많은 수의 0 이 있는지를 즉각적으로 알 수 있기 때문입니다.
그리고 명백히 이 수를 나타내는
지름길입니다.
몇 개를 더 해보겠습니다.
아보가드로 수를 가지고 시작했는데,
과학적 표기가 필요한 것을 보여주기 때문입니다.
그래서 여러분은 다시 계속적으로 이렇게 써서는 않됩니다.
다른 수를 해보겠습니다.
과학적 표기로 써보겠습니다.
수가 있는데요, 7,345 가 있다고
합시다.
이 수를 과학적 표기로 나타낼려고 합니다.
생각하기에 가장 좋은 길은---
여기에 다시 쓰겠습니다
10 의 3 제곱은 1000 입니다.
10 의 3 제곱은 1000 인 것을 알고 있습니다.
이 수에 적합한 가장 좋은 10 의 지수는
이 것입니다.
이 것은 7,000 입니다.
이 것은 7,000 이고, 다음에 이 것은 0.3 곱하기 1000 이고,
그 다음은 0.04 곱하기 1,000 입니다.
여러분에게 도움이 되는지는 잘 모르겠습니다.
이 수를 7.345 곱하기 10 의 3 제곱으로 쓸 수 있습니다.
7,000 더하기 0.3 천이기 때문입니다.
0.3 곱하기 1,000 은 얼마입니까?
0.3 곱하기 1,000 은 300 입니다.
0.04 곱하기 1,000 은 얼마입니까?
40 입니다.
0.005 곱하기 1,000 은 얼마입니까?
5 입니다.
그래서 7.345 곱하기 1,000 은 7,345 입니다.
곱하기를 해서, 확실하게 하겠습니다.
7.345 곱하기 1,000 을 합니다.
제가 하는 방법은, 0 들은 무시합니다.
1 로 여기 위에 있는 수를 곱합니다.
그래서 7 3 4 5 를 얻었고, 0 들이 있으므로
여기 끝에 0 을 붙입니다.
소수점 아래 세자리를 가지고 있는데
1, 2, 3 세자리입니다.
그래서 하나, 둘, 셋 바로 여기에 소수점을 찍습니다.
다 되었습니다.
7.345 곱하기 1,000 은 7,345 입니다.
몇 개를 더 해보겠습니다.
6 을 과학적 표기로 나타낼려고
합니다.
과학적 표기로 나타낼 필요는 명백히 없지만
어떻게 나타낼 수 있습니까?
6 에 적합한 가장 큰 10 의 지수는 얼마입니까?
6 에 맞는 가장 큰 10 의 지수는 1 입니다.
어떤 수 곱하기 10 의 0 제곱으로 쓸 수 있습니다.
10 의 0 제곱은 그냥 1 입니다, 그렇지요?
그냥 1 입니다.
그러면 6 은 무엇 곱하기 1 입니까?
그냥 6 입니다.
그래서 6 은 6 곱하기 10 의 0 제곱이 됩니다.
실제로는 이런 식으로 쓸 필요는 없습니다.
이 것이 훨씬 더 간단합니다.
이런 식으로 쓰고 싶으면 어떻게 하여야 합니까?
강의를 시작할 때 과학에서는 아주 큰 수와 아주 작은 수를
다루어야한다고 말씀드렸습니다.
여기에 수가 있다고 합시다, 이 색으로 쓰겠습니다.
1, 2, 3, 4
다석 개의 0 이 있고 그 다음에 7 이 옵니다.
다시 한 번, 이 수는 다루기 쉬운 수는 아닙니다.
이 수에 적합한 10 의 지수 중 가장 큰 것은 무엇입니까?
나누어 떨어지는 수는 무엇입니까?
생각해 봅시다.
우리가 지금까지 해 온 것은 10 의 지수가 양수였습니다.
10 에 대한 양의 지수.
10 에 대한 음수의 지수를 할 수도 있습니다.
10 의 0 제곱은 1 임을 알고있습니다.
여기에서 시작하겠습니다.
10 의 마이너스 1 제곱은 10 분의 1 이고, 0.1 과 같습니다.
색깔을 바꾸어서 분홍색으로 하겠습니다.
10 의 마이너스 2 제곱은 10 제곱 분의 1 이고,
100 분의 1 이 되어, 0.01 과 같습니다.
여러분이 아이디어를 얻었을 것으로 생각합니다.
여러분이 아이디어를 얻을 수 있도록 하나 더 해보겠습니다.
10 의 마이너스 3 제곱.
10 의 마이너스 3 제곱은 10 의 3 제곱 분의 1 이고,
1000 분의 1 이 되고, 0.001 과 같습니다.
그래서 일반적인 패턴을 보면, 10 의 마이너스 제곱은,
소수점 뒤에 있는 자리수 만큼을
나타내게 됩니다.
0 의 갯수가 아닙니다.
10 의 마이너스 3 제곱에는 0 이 두 개 밖에 없지만,
소수점 아래에 3 자리가 있는 것입니다.
그러면 여기에 들어갈 수 있는 10 의 지수 중 가장 큰 것은 무엇입니까?
소수점 뒤에 몇 개의 자리수를
가지고 있습니까?
1, 2, 3, 4, 5, 6 개 입니다.
그래서 10 의 마이너스 6 제곱이 답이고,
소수점 뒤에 6 자리수를 가지게 되고
마지막 자리는 1 이 됩니다.
그래서 5 개의 0 과 1 을 가지게 됩니다.
이 것이 10 의 마이너스 6 제곱입니다.
바로 여기에 있는 이 수는 이 수의 7 배에 해당합니다, 그렇지요?
이 수에 7 을 곱하면, 1 을 7 배 하고
1, 2, 3, 4, 5, 6 개의 수를 소수점 뒤에
놓으면 됩니다.
1, 2, 3, 4, 5, 6.
그래서 이 수에 7 을 곱한 것은
우리가 시작했던 수와 같은 것입니다.
그래서 이 수를 다시 쓸 수 있습니다.
이 수를 매 번 쓰는 대신에,
이 것처럼 다시 쓸 수 있고
7 처럼 쓸 수 있고, 이 것은 이 수의 7 배와 같습니다.
이 수는 저 수보다 더 좋은 것은 아니지만, 이 수는
10 의 마이너스 6 제곱과 같습니다.
7 곱하기 10 의 마이너스 6 제곱.
이제 짐작하실 수 있을 것입니다.
수가 있는데, 7 이 있으면
이 방식으로 생각해보겠습니다.
7 이 있는데, 여기 위에 7 3 이 있다고 합시다.
그러면 무엇을 하여야 합니까?
바로 여기에 있는 처음의 숫자로 갈려고합니다.
10 의 지수 중 가장 큰 것이 될 수 있는 것이고,
여기에 들어갈 수 있습니다.
저 것을 나타내기를 원하면,
저 것처럼 다른 자리수를 해야합니다.
봅시다. 0.0000516 입니다.
이 수를 과학적 표기 방식으로 나타낼려고합니다.
0 이 아니 첫 번 째 수로 가겠습니다, 첫 번 째 0 이 아닌 수는,
바로 여기에 있습니다.
여기에 맞는 10 의 지수 중 가장 큰 것은
무엇입니까?
1, 2, 3, 4, 5 개 가겠습니다, 그러면
5.16 이 되고, 여기 5 를 취하고, 나머지는 모두
소수점 아래로 놓이고, 곱하기 10 의
10 의 지수중 가장 큰 것은
이 첫 번 째 0 이 아닌 수입니다.
1, 2, 3, 4, 5 입니다. 그래서 10 의
마이너스 5 제곱입니다.
다른 예제를 하나 더 해 보겠습니다.
제가 할려고 하는 요점은, 먼저 처음으로 가서
왼쪽에서 시작해서, 처음으로 0 이 아닌 수가,
지수를 구하는데에 사용됩니다.
여기가 10 의 마이너스 5 제곱을 얻은 곳인데요,
1, 2, 3, 4, 5 를 세었기 때문입니다.
여러분도 이 수를 세었을 것입니다,
우리가 여기에서 했던 것처럼.
그러면 나머지는 모두 소수점 뒤에 있는 것입니다.
다른 예제를 해보겠습니다.
이 수가 있는데요, 제 집사람은 항상 소수점 앞에
0 을 써야한다고 지적하는데요, 그녀는 의사이기 때문에
사람들이 소수점을 보지 못하면, 어떤 사람은,
약을 과다처방할 수가 있다고합니다.
그러면 그녀가 하는 방식으로 쓰겠습니다.
0.0000000008192.
이 수는 확실히 귀참ㅎ은 수 입니다, 그렇지요?
0 을 빼먹을 수도 있고 또는 너무 많이 0 을 넣을 수도 있다는 것을 알고 있습니다.
중요한 과학 연구를 하고 있다면
또는 이렇게 적은 양의 처방을 할 수 없고,
또는 여러분이---
저는 여기에 관련되기 싫습니다.
하지만 이 수를 어떻게 과학적 표기로 나타낼 수 있을까요?
그러면 처음으로 나타나 0 이 아닌 수에서 시작해서,
왼쪽에서부터 시작합니다.소수로 나타냈는데요
그러면 8.192 가 되고, 소수로 나타냈는데,
8.192 곱하기 10 의 몇 제곱입니까?
8, 9, 10, 이 수를 포함해야합니다.
10 의 마이너스 10 제곱입니다.
이 수가 저기 있는 수보다 쓰기에 쉬워
여러분이 만족하실 것으로 생각합니다.
이제, 이 것이 과힉적 표기의 또 다른
위력입니다.
이 두수를 가지고 있는데 , 이 두 수를
곱할려고합니다.
0.005 곱하기
0.0008 을 할려고합니다.
이 것은 하는 것이 아주 간단합니다.
하지만, 때로는 귀찮아지기도 하고, 특별히
소수점의 어느쪽이건 20 개나 30 개의 0 이 있는 수를
다룬다면 더 그렇습니다.
제 집사람이 좋아하도록 0 을 넣겠습니다.
이 것을 과학적 표기로 나타낼 때는,
간단히해야 합니다.
이 것을 5 곱하기 10 의 몇 제곱으로 다시 쓸 수 있읍니까?
소수점 뒤에 1, 2, 3, 세자리가 있으니
10 의 3제곱입니다.
그리고 이 8은, 이 것은 8 곱하기 10 의, 이런, 이 것은,
5 곱하기 10 의 마이너스 3제곱입니다.
아주 중요합니다.
5 곱하기 10 의 3 제곱은 5,000 입니다.
주의하셔야 합니다.
그러면 이 수는요?
소수점뒤에 1, 2, 3, 4, 네자리가 있습니다.
그래서 8 곱하기 10 의 마이너스 4 제곱입니다.
우리가 수를 곱할려면,
이 두 수를 곱하는 것은, 5 곱하기
10 의 마이너스 3제곱 곱하기 8 곱하기 10 의 마이너스 4 제곱과 같습니다.
과학적 표기라고하여 특별한 것은 없습니다.
글자그대로입니다.
곱셈을 위하여, 이렇게 쓰고,
곱하면, 순서는 상관 없으니, 이렇게 다시 쓸 수 있고,
5 곱하기 8 곱하기 10의 마이너스 3 제곱 곱하기 10 의
마이너스 4 제곱 처럼요.
그러면 5 곱하기 8 은 얼마입니까?
5 곱하기 8 은 40입니다.
그러면 40 곱하기 10 의 마이너스 3 제곱 곱하기
10 의 마이너스 4 제곱.
지수 법칙을 알고 계신다면,
깉은 밑수를 가진 두 수를 곱할 때에는,
지수를 그냥 더하면 됩니다.
그냥 마이너스 3 과 마이너스 4 를 더하면 됩니다.
그러면 40 곱하기 10 의 마이너스 7 제곱이 됩니다.
다른 문제를 해보겠습니다.
아보가드로 수를 곱한다고 해 봅시다.
아보가드로 수는 6.022 곱하기 10 의 23 제곱임을 알고 있습니다.
이 수에 이주 작은 수를 곱한다고
해 봅시다.
곱하기 7.23 곱하기 10 의 마이너스 22 제곱.
이 것은 진짜로 아주 작은 수 입니다.
소수를 얻을 것이고,
21 개의 0 과 7
2 3 을 가지고 있습니다.
이 것은 아주 작은 수입니다.
하지만 곱셈은, 과학적 표기로 하면,
6.022 곱하기 10 의 23 제곱, 곱하기 7.23
곱하기 10 의 마이너스 22 제곱,
순서를 바꿀 수 있습니다.
그러면 6.022 곱하기 7.23
이 것이 그 부분입니다.
과학적 표기의 이 첫 번째 부분을
할 수 있습니다.
곱하기, 곱하기, 10 의 23 제곱 곱하기 10 의
마이너스 22 제곱입니다.
이제, 여러분이 아시다시피,
바로 여기에서 약간의 소수의 곱셈을 하여야합니다.
어떤 수가 될텐데요, 40 정도 라고 생각합니다.
암산으로 할 수는 없습니다.
이 수 곱하기 10 의 23 제곱 곱하기 10의
마이너스 22 제곱입니다.
그냥 지수를 더하면 됩니다.
10 의 1 제곱 곱하기 10.
이제 이 수는, 무엇이 되건,
그냥 남겨두겠습니다, 계산기가 없기 때문입니다.
7.23, 얼마가 될지 봅시다.
7.2, 봅시다, 0.2 곱하기, 5 분의 1 이니까,
41 정도 될 것 같습니다.
그래서 이 것은 대략, 41
곱하기 10 의 1 제곱입니다.
또는 다른 방식으로, 대략,
410 정도 될 것입니다.
제대로 할려면, 실제로 이 곱셈을
해 보셔야합니다.
과학적 표기가
아주 큰 수 및 아주 작은 수에 실제로 유용하고다는 것을 아셨기를 바랍니다.
수를 이해하거나 쓰는데에 더욱 유용할 뿐만 아니라
수를 취급하는 것을
간단하게 해줍니다.