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이제 전 강의에서 스퀴즈 정리를 배웠으니
말했던 극한을 증명해보도록 할게요
노란색으로 써보죠. x가 0으로 갈 때,
sin(x)/x의 극한이 1이다.
지금쯤 엄청 기대하고 계실 거예요
계속 강조했던 내용이니까요
그럼 해봅시다. 물론 삼각함수가 있으니
삼각함수를 써야 할 거고요, 증명은 시각적, 기하학적으로 할 겁니다
그럼 제I사분면과 제IV분면에서
단위원을 한 번 그려보겠습니다
자주색으로요
어디보자...
좀 크게 그릴까요
봅시다
꽤 크게 그릴 거에요
이쯤 될까요
괜찮네요
축도 그려야겠죠
이게 x축이 될 거고요
미안합니다, y축이죠
자, 됐습니다
이 쪽이 x축이죠
단위원을 그렸습니다
됐습니다
또 한 두 개 더 그릴 게 있어요
반지름을 그리는데요,
단위원 밖까지 좀 연장을 해볼게요
이렇게요
문제 풀기 전에 준비 단계로 그려야 할 게 몇 개 있어요
아, 실수했네요
여기서부터 하려고 했습니다
이렇게요
여기서는 이렇게 그리고요
또 여기서 하나 더 그립니다
이렇게요
모든 준비가 끝났습니다
아까 뭐라고 했죠?
이게 단위원이라고 했죠?
단위원이라는 게 무슨 뜻입니까?
반지름이 1인 원이라는 거죠
그러니까 여기서 여기까지의 거리가 1이 됩니다
또 라디안으로 이 각이 x라고 하면
이 선분의 길이는요?
길이가 어떻게 되죠?
사인함수가 어떻게 정의되냐면요
단위원 위의 어떤 점의 y좌표로 정의가 되죠
그러니 이게 sin(x)가 됩니다
공간이 없을 수가 있으니 화살표를 그려서 표시를 할게요
이게 sin(x)가 되는 거죠
이번 질문은 좀 더 어렵습니다
이 길이는 얼마죠?
생각을 해봅시다
탄젠트가 뭘까요?
삼각비로 탄젠트를 어떻게 배웠는지 되새겨보세요
대변/이웃변
대변의 길이 나누기 이웃변의 길이죠
그럼 tan(x)가 어떻게 되죠?
값이 뭐랑 같냐면요
이게 지금 직각삼각형이니까
여기 대변의 길이가 있고 이걸 이웃변의 길이로 나누면 되죠
그럼 이 길이를 볼 때
opposite(대변)의 철자를 따서 O라고 표시를 합시다
이웃변의 길이는 얼마죠?
이 큰 사각형의 밑변의 길이는?
자, 이게 지금 단위원이죠?
그러니까 여기부터 여기까지의 거리
이 거리도 1이 되겠죠?
그냥 반지름이니까요
이게 1이죠
자, tan(x)=대변/이웃변이에요
대변/이웃변인데, 지금 이웃변이 1이죠?
그럼 이 대변의 길이, 여기 이 변의 길이가요
tan(x)와 같게 되겠죠
다시 말하면 tan(x)의 값이
이 변의 길이를 1로 나눈 것, 즉 이 변의 길이와 같은 거예요
한번 써봅시다
여기가 tan(x)예요
이제 이 그림에서 넓이를 좀 따져볼게요
몇몇 부분을요
좀 더 크게 그리면 더 좋았을텐데
이 정도면 괜찮을 것 같네요
비교적 작은 삼각형부터 시작하죠
여기 삼각형을 한 번 볼게요
녹색으로 표시를 하겠습니다
자, 이 녹색 삼각형을 보세요
이 넓이는 어떻게 될까요?
밑변과 높이의 곱의 절반이 되겠죠
1/2 곱하기 밑변의 길이, 여기서는 밑변의 길이가 1이고요
그렇죠?
이 삼각형 전체를 볼 때요
높이는 얼마죠?
아까 얘기한대로 여기 이 높이가
sin(x)가 되죠
곱하기 sin(x)
이게 녹색 삼각형의 넓이죠?
자, 그럼 이 삼각형-- 이 녹색 삼각형은 아니고요
다른 색으로 해볼게요
무슨 색으로 하냐면-- 붉은색으로 할게요
이 부채꼴의 넓이는 얼마죠?
여기 이 부채꼴이요
이 부채꼴
잘 보이시나요? 좀 더 잘 보이는 색으로 하면요
지금 이 부채꼴이에요
이쪽을 타는 거죠
이 호를 따라 가는 거예요
넓이가 아까 그 녹색 삼각형보다는
조금 더 크겠죠?
이 삼각형하고 호 사이의 넓이를 포함하니까
항상 넓이가 좀 더 커지겠죠
넓이가 어떻게 됩니까?
여기 이 각이 x고요 물론 라디안이고
전체 단위원을 봤을 때 차지하는 비율이 얼마죠?
단위원에 2π 라디안만큼 있겠죠?
그럼 이 넓이가 얼마가 되죠?
일단 단위원에서 x가 차지하는 비율
비율을 먼저 곱해야 할 거고요
x를 단위원에 있는 2π 라디안만큼
나눠주면 되죠
이게 지금 어떤 비율이냐면
라디안이 아니고 각도로 계산했을 때
360도로 나누고 거기다 원의 넓이를 곱해주는 그거예요
전체 원에서 이 부분이 차지하는 비율이고
이걸 전체 원의 넓이를 계산해서
거기다 곱하고 싶은 거죠
원의 넓이는 얼만가요?
π 반지름 제곱이죠 지금 반지름 길이는 1이죠?
그러니까 원 넓이는 정확히 π고요
π r 제곱, r=1이니까 원의 넓이를 보면
이 조각의 넓이를 보면 그게 뭐랑 같냐면
여기 π가 지워지니까 x/2랑 같겠죠
그러니까 아까 녹색 삼각형을 보면
sin(x)였죠
1/2 sin(x)가 녹색 삼각형의 넓이고요
그것보다 좀 더 넓은 이 조각의 넓이를 지금 막 계산했고
그 값이 x/2입니다
마지막으로 이 큰 삼각형 넓이
이 넓이를 보면요
이건 정말 간단하죠
1/2 밑변 높이 곱하면 되니까
1/2 곱하고, 밑변의 길이는 지금 1이죠
1 곱하기, 높이는 tan(x)니까
1/2 tan(x)가 되네요
지금 이 그림을 보면 명백해지는 게
여기 위쪽 선을 어디다 그렸든 간에
녹색 삼각형은 여기 부채꼴보다 작고
부채꼴은 큰 삼각형보다 작죠
그렇죠?
부등식으로 한 번 써봅시다
녹색 삼각형-- 녹색 삼각형의 넓이를 보면
1/2 sin(x)가 녹색 삼각형 넓이고요
그게 이 부채꼴 넓이보다 작죠
x/2보다 작은 거죠
또 그건 이 큰 삼각형 넓이보다 작죠
그렇겠죠?
그건 1/2 tan(x)고요
이게 언제 참이죠?
적어도 제I사분면 위에서는 참이죠
제I사분면 위에 있으면 참이에요
제IV사분면에서도 거의 참이 됩니다
단 sin(x)가 음의 값이 되고
tan(x)가 음, x도 음이 되는 점만 다르죠
하지만 전부 절댓값을 취해버리면
제IV사분면에서도 잘 성립하겠죠
왜냐면 음수로 가더라도 절댓값을 취하면
거리같은 걸 잘 이야기할 수 있고,
넓이도 양이 되고, 뭐 그런 게 잘 성립하니까요
지금 목표가 x가 0으로 갈 때 극한을 보고 싶죠
극한을 취할 거니까, 그 극한을 잘 이야기할 수 있으려면
양쪽에서 극한이 성립해야겠죠. 양의 방향이랑 음의 방향
둘 다요
이제 양변에 절댓값을 취할 겁니다
좀 이해가 되시면 좋겠네요
이렇게 아래로 선을 그리고
여기가 sin(x)가 되고, 여긴 tan(x)가 되고
전부 절댓값을 취해버리면
본질적으로는 제I사분면이랑 똑같은 걸 하는 겁니다
그러니까 절댓값을 전부 취해버립시다
바뀌는 건 없습니다
특히 제I사분면에서요
이렇게 절댓값을 취해도 왜 다른 사분면에서도 괜찮은지
생각을 좀 해보시면 좋을 거예요
자, 이 부등식을 얻었습니다
이걸 좀 가지고 놀아볼게요
일단 모든 변에 2를 곱해서
1/2를 전부 소거합시다
결론적으로 |sin(x)|가 |x|보다 작고
또 |x|가 |tan(x)|보다 작다
그런 결론을 얻죠
절댓값을 취한 게 안 헷갈리셨으면 좋겠습니다
원래 절댓값 없이 썼던 그 부등식은
제I사분면에서 아주 잘 성립했어요. 근데 극한에서 x가 0으로 양쪽에서 갈 때를 보니까
제I사분면과 제IV사분면을 둘 다 따지고 싶은 상황이 되는 거죠
그래서 절댓값을 취해 두 사분면에서
동시에 성립하게 하는 겁니다
그러니까 아래쪽에 선을 그어서
제IV사분면에서도 모든 걸 똑같이 해도
절댓값을 취하면 다 성립한다는 거죠
자, 문제로 돌아와서요
이 부등식을 얻었습니다
공간이 좀 부족한 것 같으니까요
조금만 지워볼게요
지우고...
지우고.
이건 지우는 거 아니고요
됐습니다
이건 지우고요
됐네요
여기까지 과정은 전부 지워도 돼요
대신 이건 잊으면 안 되죠
공간이 많이 생겼군요
좋아요
자, 이제 이 부등식을 가지고
모든 변을 다 나눠봅시다
지금 변이 세 개가 있죠
왼쪽, 가운데, 오른쪽
이걸 |sin(x)|로 전부 나눌 거예요
|sin(x)|가 양수인 걸 알고 있으니까요
|sin(x)|를 곱해도 이 부등호들의 방향이
바뀌지 않죠?
그렇게 해봅시다
자 여기 있는 |sin(x)|는
|sin(x)|로 나누면 물론 1이죠
이건 |x|/|sin(x)|보다
작고요
이건 다시 뭐보다 작냐면 |tan(x)|를--
그러니까 여기를 |sin(x)|로 나누고
|sin(x)|, |sin(x)|로 다 나누고 있는 거죠
자 그럼 |tan(x)|/|sin(x)|를 계산하면
어떤 값이 되나요?
tan(x) = sin(x)/cos(x)임을 알죠?
그러니까 이게 뭐랑 같냐면-- 여기 말이죠
sin(x)/cos(x)를 또 sin(x)로 나눈 겁니다
물론 절댓값을 취해도 똑같죠
절댓값을 취하고요
절댓값을 절댓값으로 나눕니다
그럼 남는 게 뭐죠?
뭐가 남냐면요. 이게 이거랑 지워져서
1이 될 테니까, 결국 남는 건 1/|cos(x)|
그게 남겠죠
이제 거의 다 왔습니다
이게 이거랑 아주 비슷하게 생겼죠. 그냥 역수를 취한 거니까요
이걸 얻고 싶으니까 역수를 취합시다
역수를 취할 때 뭐가 일어나나요?
먼저 1의 역수를 취하면 어떻게 되죠?
1/1은 그냥 1이죠
그런데 부등식의 양변에 역수를 취하면
부등호의 방향도 역이 되죠?
그게 잘 이해가 안 되시면 이렇게 생각해보세요
만약 1/2 < 2라고 하고요. 양변에 역수를 취하면
2 > 1/2를 얻겠죠
직관적으로 감이 오셨으면 합니다
자, 이렇게 부등식에 전부 역수를 취한다고 하면
부등호 방향도 바꾸어야 하는 거죠
그러니까 |sin(x)|/x < 1을 얻을 거고요
그건 뭐보다 크냐면요, |cos(x)|보다 크겠죠
|cos(x)|보다 큽니다
여기서 질문입니다
|sin(x)|/|x|를 보는데요
아니, 먼저 sin(x)/x를 보세요
sin(x)/x가 말입니다 제I사분면이나 제IV사분면 위에서 볼 때요
그 값이 음이 되는 순간이 존재할까요?
sin(x)/x가 음이 될 수 있나요?
일단 제I사분면에서 보면 sin(x)가 양수고요
x도 양수죠
양수 나누기 양수니까
결과도 양수가 되겠죠
제IV사분면에서 보면 sin(x)가 음수죠
y좌표가 음수고, 각도 음이니까
x도 음수가 됩니다
그러니까 제IV사분면에서는 sin(x)/x가
음수 나누기 음수가 되죠
그러니까 다시 양수가 됩니다
즉 sin(x)/x는 언제나 양수예요
그러니까 절댓값이 굳이 없어도 되죠
1 > sin(x)/x라고 써도 된다는 거죠
마찬가지로 제I사분면과 제IV사분면에서
그러니까 우리가 보고 있는 영역에서
-π/2 < x가 성립하는 영역이죠
x < π/2 또한 성립하죠
즉 -π/2부터 시작해서
π/2까지 쭉 다루고 있는 겁니다
제IV사분면과 제I사분면 위에서요
cos(x)가 음이 될 수 있나요?
cos(x)는 x좌표잖아요. 제I사분면과 제IV사분면 위에서는
정의상 x값이 항상
양이죠
그러니까 이게 항상 양수가 되는 경우고
다시 절댓값을 없애고 이렇게만 써도 되죠
이제 스퀴즈 정리를 쓸 때가 왔습니다
여기 아래에 있는 걸 다 지워볼게요
질문입니다
x가 0으로 갈 때
함수 1의 극한은 얼마죠?
상수함수 1은 언제나 그 값이 1이니까요
x가 무한대로 가든,
x가 π로 가든, 다 상관없어요
이건 항상 1이 될 겁니다
즉 x가 0으로 갈 때 이 극한이 1입니다
x가 0으로 갈 때 cos(x)의 극한은 얼만가요?
그것도 쉽죠
x가 0으로 갈 때를 보면, cos(0)=1이 성립하고요
cos이 분명 연속함수니까요. 극한도 1이 되겠죠
즉 스퀴즈 정리를 쓸 준비가 된 겁니다
0으로 갈 때, x가 0으로 갈 때를 보면
이건 1로 갈 거고요
이것도 1로 갈 거고요
그리고 이 함수, 이 식이 지금 두 함수 사이
사이에 위치하죠
이제 이 사이에 있으면, 지금 0으로 갈 때를 보면요
이게 0으로 갈 때 1로 가고,
이게 0으로 갈 때 1로 가고, 이건 이 둘 사이에 있으니까
그것도 x가 0으로 갈 때 1로 가야겠죠
즉 이것과 이것을 이용해서 스퀴즈 정리를 적용하고 있는 겁니다
그러니까 스퀴즈 정리에 의해서
이게 성립하고, 이게 성립하고, 또 이게 성립하니까
x가 0으로 갈 때 sin(x)/x의 극한이 1이 되죠
직관적으로 이해가 되셨길 바랍니다
다른 방식으로 보면요, 이 선이 0으로 가까이 갈 때,
그러니까 x가 0으로 갈 때 점점 작아지면서
이 넓이와 이 넓이가 서로 가까워지고, 둘 사이에 있는 이 넓이도
그 두 넓이와 가까이 가야겠죠
그래프를 통해서 보고 싶으실까봐
그래프를 준비했습니다
그래프를 그릴 수 있나 볼게요
그래프를 보여드릴게요
거짓말이 아니라는 걸 믿으실 수 있게끔요
1 > sin(x)/x가 성립한다고 얘기했었고요
그건 cos(x)보다 항상 크거나 같죠
-π/2 < x < π/2일 때요
물론 x=0일 때는 정의가 안 되어 있겠죠
하지만 극한은 따질 수가 있습니다
여기 있습니다
여기 이 파란 선이 상수함수 1입니다
y=1의 그래프고요
여기 하늘색 그래프가 cos(x)입니다
이게 sin(x)/x의 그래프예요
그렇게 입력한 게 보이시죠
그러니까 -π/2와 π/2 사이에서 보면,
그러니까 제I사분면과 제IV사분면 위에서 보면 붉은 그래프, 즉 sin(x)/x의 그래프가
항상 사이에 있는 게 보이시죠
항상 파란색과 하늘색 그래프 곡선 사이에 놓입니다
이게 스퀴즈 정리를 적용했을 때의
직관적인 이해가 될 겁니다
x가 0으로 갈 때 이 하늘색 곡선의 극한이
1이 되고요
또 x가 0으로 갈 때 이 파란색 곡선의 극한도
1이 되는 걸 알 수 있죠
이 붉은 곡선은 항상 두 곡선 사이에 놓이니까
그 극한도 1이 되어야 합니다
이제 완료입니다.
x가 0으로 갈 때 sin(x)/x의 극한이 1이라는
말하자면 시각적인 삼각함수를 동원한
스퀴즈 정리에 의한 증명입니다
헷갈리시지 않았길 바랍니다