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이 비디오에서 우리는
2000년 전에 살았던 그리스의 학자 에라토스테네스에 대해 이야기를 할 것입니다.
에라토스테네스는 오늘날 우리가 사용하는 현대적인 도구를 전혀 사용하지 않고
지구의 둘레를 측정하는 방법을 알아냈습니다.
그가 어떻게 했는지 이 비디오에서 살펴볼 것입니다.
에라토스테네스가 사용한 측정법의 핵심은
간단한 기하학적 세계입니다.
이를 이해하기 위해 여기에
점 A와 B가 있는 원이 있다고 생각해보세요.
그리고 원 안에 A와 B의
거리를 알고 있다고 합시다.
그래서 호 AB의 길이를 알고 있다고 합시다.
이 정도의 지식만으로
우리는 원주를 알아낼 수 있습니다.
그러나 여러분은 A와 B가
원 위에 무작위로 찍은 점이므로 정확한 답을
알 수 없을 것이라고 생각할 것입니다.
그래서 그 거리를 아는 것은 그다지 도움이 되지 않을 것이라고 생각할 거예요.
이와 관련하여 우리에게는 A와 B가 더 이상 무작위의 점이 아니라는
몇 가지 정보가 필요합니다.
아울러 A와 B가 원의 중심과
각을 이루고 있다는 것을 알고 있어야 합니다.
이것을 안다면
A와 B가 원주로부터 어느 정도나 되는지 알 수 있습니다.
왜냐하면 모든 원은 한 바퀴 회전하는 데
360도라는 것을
알고 있기 때문입니다.
그래서 구체적인 데이터가 주어지면
호 AB가 원에서 차지하는 정도를 알 수 있고,
어렵지 않게 원주를 추정할 수 있습니다.
그렇다면 좀 더 구체적인 예를 들어 한 가지는 분명하게 해두겠습니다.
이제 오른쪽에
있는 원을 보세요.
다시 점 A와
B가 있고,
정확하게
원의 중심과
90도인 것을 볼 수 있습니다.
그리고 우리가 360도 안에 90도가 4번 들어 있다는 것을 알고 있기 때문에
호 AB는 원주의 1/4로서
여기에 음영을 넣은 부분이
원에 4번 들어간다는 것을 의미합니다.
따라서 이 경우에는 원의 원주가 호 AB 길이의
4배가 됩니다.
이제 이를 기준으로 다른 원을
그려봅시다.
다시 점A와 B가 있고, 이것은 점 A와 B 사이의 각입니다.
이것을 측정했더니
36도라고 합시다.
36도는 360도 안에 10번 들어 있기 때문에
이 원에 이 조각들이 10개가 들어간다는 것을 알 수 있습니다.
따라서 이 경우에 원주는
전체 조각의 수 10에
한 조각인 AB 길이를 곱한 값입니다.
이제 일반적으로
한 원의 원주는 우리가 알고 있는 전체 조각의 수에
한 조각의 길이를 곱한 값이라는 것을 알게 되었습니다.
좀 더 구체적으로 말하자면, 전체 조각의 개수인
360도를
점 A와 B가
원의 중심과 만나는 각,
즉 한 조각의 길이인 AB의 데이터 값으로 나누면 됩니다.
따라서 이 두 가지,
호 AB와 점 A와 B가 원의 중심과 만나는 각에 의해 원주가 결정된다는 것을 안다면
우리는 원주를 추정할 수 있습니다.
이것이 바로 에라토스테네스 방법의 핵심입니다.
자, 이제 이것을 적용해 봅시다.
여기에 다른 원이 있습니다. 하지만 이제부터 이 원을 특별히
지구라고 하겠습니다.
그리고 점 A가 도시 알렉산드리아가 됩니다.
이곳은 이집트의 도시이고
에라토스테네스가 살았던 곳입니다.
점 B는 도시 시에네가 됩니다.
에라토스테네스 시대에 알렉산드리아와 시에네 사이의
거리는
500마일 정도라고 알려져 있었습니다.
물론 그때 단위가 마일은 아니었지만 우리는 변환 계수를 알고 있기 때문에
기존 단위 체계에 대해 신경 쓸 필요는 없습니다.
알렉산드리아와 시에네 사이의 거리는 500마일이고,
이제
우리의 이전 문제를 다시 돌아가 알렉산드리아와 시에네가
지구의 중심에서 각을 만든다는 정보로부터
지구의 원주를 파악하기 위해
해야 할 모든 것을 볼 수 있습니다.
그리고
에라토스테네스 방법에 대한 정말 뛰어난 점은 그가 이 각도를 측정하는
좋은 방법을 발견한 것입니다.
그렇다면 그는 어떻게 했을까요?
시에네라는 곳에는 우물이 하나 있었는데, 그 우물은 매우 깊었고, 여름철 정오 무렵이 되면
태양 광선이
우물 바닥까지 내리쬐는 곳으로 유명했습니다.
이는 그 우물이 매우 깊었기 때문에 햇빛이 지구에 도달할 때,
우물과
수평을 이루고 있음을 의미합니다.
태양은 지구로부터 멀리 떨어져 있기 때문에
이렇게 선을 그립니다.
그리고 태양이 지구로부터
멀리 떨어져 있기 때문에
다른 지점에 닿는 빛도 평행한 선으로 처리할 것입니다.
여기에 알렉산드리아와 시에네에 닿은 햇빛을 선으로 그렸습니다.
평행선의 흥미로운 속성은
여기에 있는 2개의 평행선, 즉 2개의 광선과
제가 그린 이 선을 가지고 있다면,
데이터 2라고 부르는
이 각도는 우리가 찾기 위해 노력했던
데이터 1의 각도와 같다는 것입니다.
여러분이 기하학 수업을 듣게 된다면
이것을 동위각이라고 부르겠지만
이를 스스로 증명하기 위해 쉽게 부를 것입니다.
우리는 이 문제를 알고 있기 때문에
데이터 1을 측정하는 어려운 문제를
비교적 쉬운 데이터 2로 변환할 수 있습니다.
그렇다면 데이터 2는 어떻게 측정할까요?
그것은 무척 간단합니다.
이 지역을 확대해봅시다.
지구의 표면에 떨어진 중요한 선의 하나가
수직으로 세워 놓은 막대기를
통과하면서 반지름을 얻게 되었습니다.
태양과 그것의 광선 하나가
막대기의 높이와
그림자의 길이로
땅 위에 그림자를 만듭니다.
우리는 이 삼각형을 그려 간단하게 데이터 2를 측정할 수 있습니다.
우리가 해야 할 일은 막대기가 만든 그림자를 보는 것입니다.
그리고 이것이 에라토스테네스가 한 일입니다.
그리고 그는 데이터 2의 각도가
7.2도와 같다는 것을 측량했습니다.
이제 우리는 이 정보, 각도,
데이터라고 불리는
7.2도를 알게 되었습니다.
호 AB 혹은 알렉산드리아와 시에네는
500마일 떨어져 있습니다.
그럼 이제 이 정보를 가지고
우리가 먼저 알았던 것을 식으로 만들고,
360도를 데이터와 시간,
AB로 나눠봅시다.
이는 다음과 같이 매우 간단합니다.
데이터에는 7.2도를 연결하고, AB에는 500마일을
연결합니다.
그리고 우리는 50시간 곱하기 500마일,
혹은 2500마일이라는 값을 얻을 수 있습니다.
이것은 우리의 추정이거나 원주를 구하려고 했던 에라토스테네스의 추정입니다.
이것을 C 에라토스테네스라고 부르는데,
이 값을 얻는 일이
얼마나 간단한지 참고하십시오.
그러나 오늘날의
측정치에 따르면, 지구의 평균 둘레는
지구가 완벽한 구형이 아니기 때문에 24,900마일 정도라는 사실에 주목하세요.
이러한 기초적인 방법으로 0.5%에 해당하는
100마일의 차이가 날 뿐입니다.
우리가 오늘날 사용하고 있는 도구가 없었던 옛날 사람에게
이것은 매우 인상적인 일이었습니다.