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어떤 게임에서, 암호제작자에 의해 서로 다른 색깔을 이용한 암호가 주어져 있고,
다른 사람, 예컨대, 암호해독자가,
이 암호를 해독하려 합니다.
암호제작자는 그에게 힌트를 줍니다,
색깔이 맞는지, 올바른 위치에 놓여졌는지에 대해서요.
좋아요.
가능한 색깔의 종류는 파랑, 여기 이 색깔들을 실제 색깔에 맞게 밑줄치겠습니다.
파랑, 노랑, 하양, 빨강, 주황, 그리고 녹색이 있습니다.
녹색은 이미 녹색으로 쓰여 있지만,
다시 한 번 녹색으로 밑줄을 긋겠습니다.
녹색.
같은 색깔을 반복할 수 없다고 할 때,
4색 코드를 몇 가지나 만들 수 있을까요?
어느 정도는, 이 첫번째 문단은
전혀 아무런 상관이 없습니다.
만약 우리가 선택하려 한다면,
봅시다, 우리한테 몇 가지 색깔이 있죠?
1, 2, 3, 4, 5, 6가지 색깔이 있네요
그리고 우리는 그 중 4가지를 고르려고 합니다.
같은 색깔이 반복될 수 없다면,
얼마나 많은 4색 암호가 만들어질 수 있을까요?
그리고 이건 암호이니까, 우리는 다음의 가정을 할 겁니다.
파랑, 빨강, 노랑, 녹색은
녹색, 빨강, 노랑, 파랑과 다른 암호입니다.
우리는 이 두 가지를 서로 다른 암호라고 가정하겠습니다.
비록 우리는 똑같은 4가지 색깔을 선택했지만,
이 두 암호가 서로 다르다고 가정할 것입니다.
그리고 우리는 암호에 대해 말하고 있으니 타당한 가정이지요.
그러니까 이것들은 서로 다른 암호입니다.
그러니까 여기 이것은 서로 다른 2개의 암호로 계산되겠죠,
우리가 실제로 똑같은 색깔들을 선택했음에도 불구하고요.
4개의 똑같은 색깔이지만,
순서가 다릅니다.
자 그러면 이것을 유념한 채로, 우리가 4가지 색깔을 뽑는
경우의 수가 몇 가지인지 생각해 봅시다.
우리에게 4개의 칸이 있다고 할 수 있겠죠.
1번 칸, 2번 칸, 3번 칸, 그리고 4번 칸.
처음에는, 우리는 저기 있는 저 칸, 첫번째 칸에
색깔을 할당할 방법이 몇 가지나 있는지에 대해서만 생각합니다.
우리는 아직 아무 색깔도 뽑지 않았고요.
자, 우리는 6가지 가능한 색깔들을 갖고 있네요, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
그러니까 여기 이 칸에 대해서는
6가지 서로 다른 가능성이 있습니다.
여기에 6을 넣도록 합시다.
같은 색깔을 반복할 수 없다고 했으므로,
이 칸에 어떤 색이 들어가든 간에, 우리는 그 색깔을
앞으로는 쓸 수가 없겠죠.
자 그러면 우리는 그 색깔을 제외시켰고,
다음 칸에 대해서는
몇 가지 가능성이 있을까요?
여기 있는 다음 칸에 대해서는,
몇 가지 가능한 색깔들이 있을까요?
네, 우리는 6가지 중 하나를 골라 첫 번째 칸에 두었고,
그러니까 여기에는 5가지 색깔만 가능하겠네요.
그리고 같은 논리에 의해, 세 번째 칸에 대해서는
우리가 이미 2개의 칸을 채웠으므로, 2가지 색을 이미 써버렸고,
그러니까 4가지 색깔만 남아있을 것입니다.
그러고 나면 마지막 칸에 대해서는, 우리가 이미 3가지 색을 사용했으므로
오직 3가지 가능성만 남아있겠네요.
그러므로 우리가 전체 경우의 수, 혹은 전체 순열에 대해서 생각한다면,
순열이니까 순서를 고려한 상태로
모든 가능한 경우에 대해 생각하는 것입니다;
그러니까 여기 이것은 저것과 달라요,
이 둘은 서로 다른 순열입니다.
그러니까 6가지 색깔 중 4개를 선택할 때,
모든 서로 다른 순열의 수는
첫 번째 칸에 대해 6, 곱하기 두 번째 칸에 대한 5,
곱하기 세 번째 칸에 대한 4,
곱하기 3이 됩니다.
따라서 6 x 5 =30에 4를 곱하고... 3을 곱하면,
30 x 12네요.
그러니까 답은 30 x 12 = 360,
360가지 서로 다른 4색 암호가 존재합니다.