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여기에 유리식이 많이 있습니다. 혹은 제곱근의
수식이요.
그리고 제가 하려는 것은 모든 문제를 거쳐서 그것들을
단순화 하는 것입니다.
그리고 우리는 이들이 유리수 인지 혹은
무리수 인지에 관해서 이야기 할 것입니다.
그러니까 A부터 시작해 봅시다.
A는 루트 25와 같습니다.
음, 이것은 루트 5 곱하기 5와 같습니다.
그리고 명백하게 5가 됩니다.
우리는 여기에서 양수 제곱근에 집중할 것입니다.
자, 이제 B를 풀어 보도록 합시다.
제가 다른 색으로 써 볼게요. 주요한 루트(Principal root)를 위해서요.
그리고 그것은 양수 제곱근이라고 부르는 것과 같습니다.
B에서 우리는 24의 제곱근을 가지고 있습니다.
그러니까 여러분이 하고 싶은 것은 여러분은
여기의 이 숫자의 소인수 분해를 하고 싶은 것입니다.
그러니까 24, 이것을 소인수 분해해 봅시다.
이것은 2 곱하기 12 입니다.
12는 2 곱하기 6 입니다.
6은 2 곱하기 3 입니다.
그러니까 24의 제곱근, 이것은 2 곱하기 2 곱하기
2 곱하기 3의 제곱근과 같은 것입니다.
이것은 24와 같은 것입니다.
음, 우리가 여기서 보듯이 우리는 바로 여기에 하나의 완전 제곱을 가지고 있습니다.
그러니까 우리는 이것을 다시 쓸 수 있습니다.
이것은 2 곱하기 2의 제곱근 곱하기
2 곱하기 3의 제곱근 입니다.
자, 이제 이것은 명백하게 2 입니다.
이것은 4의 제곱근 입니다.
4의 제곱근은 2 입니다.
그러고 나서 이것은 더 이상 단순화 될 수 없습니다.
우리는 두 숫자에 그 자신을 곱한 것을 여기에서 볼 수 없습니다.
그러니까 이것은 곱하기 6의 제곱근이 될 것입니다.
혹은 우리는 심지어 이것을 2의 제곱근 곱하기
3의 제곱근이라고 할 수 있습니다.
자, 이제 제가 말했듯이 저는 이것들이
유리수 인지 아닌지에 관하여 이야기 할 것입니다.
이것은 유리수 입니다.
이 부분 문제 A는 두 개의 정수의 비로 표현될 수 있습니다.
즉, 5/1 입니다.
이것은 유리수 입니다.
이것은 무리수 입니다.
*
이번 강의에서 제가 이걸 증명하지 않을 것입니다.
하지만 어떤 것이든 이것은 무리수의 곱 입니다.
그리고 어떤 소수의 제곱근은 무리수 입니다.
여기에서 그것을 증명하지는 않을 것입니다.
이것은 2의 제곱근 곱하기 3의 제곱근 입니다.
그게 6의 제곱근 입니다.
그리고 이것이 이 무리수를 만드는 것입니다.
저는 이것을 어떤 종류의 분수로도 표현할 수 없습니다.
저는 이것을 어떤 정수 나누기 어떤 정수로
제가 저기에서 했던 것처럼 표현할 수 없습니다.
그리고 저는 이걸 여기에서 증명하지 않을 것입니다.
저는 단지 여러분에게 더 연습 문제를 드릴 것입니다.
그리고 빠른 방법으로 이걸 풀어 봅시다.
여러분은 이렇게 말할 수 있습니다. "이봐. 4는 여기에 들어 가잖아.
4는 완전 제곱이야."
4를 밖으로 꺼내 봅시다.
이것은 4 곱하기 6 입니다.
루트 4는 2 입니다. 안에 6을 남기면 여러분은
2 곱하기 6의 제곱근을 얻을 수 있습니다.
결국에 여러분은 그것을 이해하게 될 것입니다. 그러나 저는
먼저 이것을 체계적으로 풀고 싶습니다.
부분 문제 C를 풀어 보도록 합시다.
20의 제곱근 입니다.
다시 한 번 20은 2 곱하기 10이고 그것은 2 곱하기 5 입니다.
그러니까 이것은 루트 2 곱하기 2
맞지요? 곱하기 5 와 같은 것입니다.
자, 이제 루트 2 곱하기 2, 이것은 명백히
그냥 2 입니다.
이것은 루트 이것 곱하기
루트 저것이 될 것입니다.
2 곱하기 루트 5 입니다.
그리고 다시 한 번 여러분은 아마 머리 속에서 그걸 할 수 있을 것입니다.
작은 연습으로 말입니다.
루트 20은 4 곱하기 5 입니다.
루트 4는 2 입니다.
여러분은 5를 루트 안에 남겨 둡니다.
그러니까 부분 문제 D를 풀어 보도록 합시다.
우리는 200의 제곱근을 구해야만 합니다.
같은 과정 입니다.
이것의 소인수를 꺼내 보도록 합시다.
그러니까 2 곱하기 100 입니다. 이건 2 곱하기 50 입니다. 이건 2 곱하기
25 입니다. 이것은 5 곱하기 5 입니다.
그러니까 여기의 이것을, 우리가 이것을 다시 쓸 수 있습니다.
화면을 오른 쪽으로 조금만 옮겨 보겠습니다.
이것은 루트 2 곱하기 2 곱하기 2
곱하기 5 곱하기 5 입니다.
음, 우리가 여기에 하나의 완전 제곱을 가지고 있습니다. 그리고
여기에 또 다른 완전 제곱을 가지고 있습니다.
그러니까 만약 제가 이 모든 단계를 단지 쓰고 싶다면, 이것은
루트 2 곱하기 2 곱하기 루트 2
곱하기 루트 5 곱하기 5 입니다.
루트 2 곱하기 2는 2 입니다.
루트 2 는 그냥 루트 2 입니다.
루트 5 곱하기 5는 루트 25 입니다.
그것은 5가 될 것입니다.
그러니까 여러분은 이것을 재배열 할 수 있습니다.
2 곱하기 5는 10 입니다.
10 곱하기 루트 2 입니다.
그리고 다시 한 번, 이것은 무리수 입니다.
여러분은 이것을 정수와 분모와 분자의 준수로
나타낼 수 없습니다.
그리고 만약 여러분이 이 숫자를 실제로 표현하려고 한다면, 이것은
단지 결코 반복하지 않고 계속해서 이어질 것입니다.
음, 부분 문제 E를 풀어 보도록 합시다.
2000의 제곱근 입니다.
제가 여기 아래에 풀어 보도록 하겠습니다.
부분 문제 E 입니다. 2000의 제곱근 입니다.
우리가 지금까지 해왔던 정확히 같은 과정을 이용합니다.
소인수 분해를 해 봅시다.
이것은 2 곱하기 1000 입니다. 이것은 2 곱하기 500 입니다. 이것은 2 곱하기
250 입니다. 이것은 2 곱하기 125 입니다. 이것은 5 곱하기 25 입니다.
이것은 5 곱하기 5 입니다.
그리고 끝났습니다.
그러니까 이것은 루트 2 곱하기 2, 여기에 제가
괄호를 넣을 게요. 2 곱하기 2, 곱하기
2 곱하기 2, 곱하기 2 곱하기 2, 곱하기 5 곱하기 5,
곱하기 5 곱하기 5 입니다. 맞습니까?
우리는 한 개, 두 개, 세 개, 네 개의 2와 그러고 나서 3개의 5에 곱하기 5를 해 줍니다.
자, 이제 이것은 뭐와 같을까요?
음, 여러분이 알 지도 모르는 한 가지는, 제가 이걸,
이걸 4, 이걸 4로 다시 쓸 것이라는 것입니다.
그러니까 4가 반복되고 있습니다.
그리고 이것은 루트 4 곱하기 4
곱하기 루트 5 곱하기 5 곱하기
루트 5와 같습니다.
그러니까 바로 여기는 명백히 4 입니다.
바로 여기는 5 입니다.
그러고 나서 곱하기 루트 5 입니다.
그러니까 4 곱하기 5 는 20, 곱하기 루트 5 입니다.
그리고 다시 한 번 이것은 무리수 입니다.
*
음, F를 풀어 보도록 합시다.
루트 1/4는, 우리가 이것을 루트 1 나누기
루트 4와 같은 것으로 볼 수 있습니다,
이것은 1/2와 같습니다.
이것은 분명히 유리수 입니다.
이것은 분수로 표현될 수 있습니다.
그러니까 명백히 유리수 입니다.
부분 문제 G는 루트 9/4 입니다.
*
같은 논리 입니다.
이것은 루트 9 나누기 루트 4와 같은 것입니다.
이것은 3/2 입니다.
부분 문제 H를 풀어 보도록 합시다.
루트 0.16 입니다.
자, 이제 여러분은 이걸 머리 속에서 계산 할 수 있습니다. 만약 여러분이 즉시
이것을 알아 본다면요. 이런, 만약 0.4 곱하기
0.4를 하면 제가 이걸 얻을 것입니다.
그러나 제가 여러분께 이걸 푸는 좀 더 체계적인 방법을 보여드리겠습니다.
만약 이게 여러분께 명백하지 않다면 말입니다.
그러니까 이것은 루트 16/100과
같은 것입니다, 맞습니까?
그게 0.16이 무엇이냐 입니다.
그러니까 이것은 루트 16 나누기 루트
100 입니다. 그 말은 4/10과 같습니다. 이것은 0.4와 같습니다.
이런 문제를 두어 문제 더 풀어 봅시다.
좋습니다.
부분 문제 I 는 루트 0.1 입니다. 그것은 루트
1/10과 같습니다. 이것은 루트 1 나누기
루트 10과 같습니다. 이것은 1 나누기..
이제 루트 10은 그냥 2 곱하기 5 입니다.
그러니까 그 사실은 우리에게 그다지 도움이 되지 않습니다.
그러니까 루트 10은 그냥 이런 식으로 씁니다.
많은 선생님들이 분모에 무리수를 남기는 것을
좋아하지 않습니다.
하지만 저는 이것이 무리수라고 말씀드릴 수 있습니다.
*
여러분은 단지 계속 숫자를 얻을 것입니다.
여러분이 여러분의 계산기로 시도해 볼 수 있습니다.
이것은 결코 반복하지 않을 것입니다.
여러분의 계산기는 여러분에게 근사치를 줄 것입니다.
왜냐하면 정확한 값을 주기 위해서는 여러분은
숫자의 무한 수를 가져야만 하기 때문입니다.
그러나 만약 여러분이 이것을 깨닫는다면..
제가 그냥 여러분께 보여드릴게요.
만약 여러분이 분모에서 루트를 없애고 싶다면
여러분은 이것 곱하기 루트 10 나누기
루트 10을 하면 됩니다. 맞습니까?
이것은 단지 1입니다.
그러니까 여러분이 루트 10/ 10을 구하게 될 것입니다.
이것들은 같은 진술입니다. 하지만 둘 다
무리수 입니다.
여러분은 무리수를 가지고 이것을 10으로 나누면 여러분은 여전히
무리수를 가지고 있을 것입니다.
J를 한 번 풀어 봅시다.
*
루트 0.01 입니다.
이것은 루트 1/100과 같은 것 입니다.
이것은 루트 1 나누기 루트 100 입니다.
이것은 1/10 혹은 0.1과 같습니다.
명백하게 다시 한 번 유리수 입니다.
이것은 분수로 쓰여 있는 것입니다.
이 위의 것 또한 유리수 입니다.
이것은 분수로 표현되어 쓰일 수 있습니다.
*