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자막제공: SNOW.or.kr (본 자막은 SNOW 자원활동가들에 의해서 제작되었습니다)
48번 문제입니다.
문제에서 만약 x 제곱에 x를 더하면 그 합계가 42라고 합니다.
그러므로 그걸 한 번 써 봅시다.
만약 x 제곱에 x를 더하면 그 합계는 42입니다.
아래 오는 선택지에서 x의 값이 될 수 있는 것은 무엇인가요?
그러므로 근본적으로 문제에서는 방정식을 풀기를 요구하는 것입니다.
그러니까 이 문제를 푸는 가장 쉬운 방법은 이차 방정식이 0과
같다는 형태로 써서 인수분해 하는 것입니다.
그러니까 이걸 x 제곱 + x - 42 = 0 이라고
써 줍시다.
그리고 생각해 봅시다.
어떤 두 숫자가 더했을 때 1이 나오고
곱했을 때는 42가 나오나요?
그리고 내가 그 두 수를 곱했을 때 -42가 나온다는 점은
둘 중의 하나가 반드시 양수이고 둘 중의 하나는
반드시 음수여야 한다는 말입니다.
그게 여러분이 두 숫자를 곱했을 때 음수가 나오는
유일한 방법입니다.
그러니까 그들 중 하나는 양수이고, 그들 중 하나는 반드시
음수입니다.
그리고 우리가 양수와 음수를 더할 때는
정말로 그 두 수의 차를 알아보면 됩니다.
그러니까 두 수의 차는 1이어야 합니다. 그리고 그들의
곱은 반드시 42여야 합니다.
그리고 42를 보는 순간 생각하기를
오. 6과 7이 있었지. 라는 겁니다.
6 곱하기 7은 42입니다.
그리고 그 둘을 더해서 양수 1이 나왔기 때문에 7이
아마도 양수 쪽이고 -6이 아마도 음수 쪽인
것 같습니다.
그러니까 시도해 봅시다.
x + 7 곱하기 x - 6 은 0 입니다.
그리고 자, 7 곱하기 -6은 -42입니다.
정말로 7x 더하기 -6x 는 +x가 됩니다.
혹은 여러분은 7 더하기 -6이 x의 계수라고 생각할 수도
있습니다. 그러니까 1이지요.
그러나 어쨌든 간에 그것도 됩니다.
그리고 여러분은 이걸 곱해서 시험해 볼 수 있습니다,
그리고 지금 제가 말하는 모든 것은 무슨 부두교 같은 게 아니에요.
내가 이렇게 더했을 때 1이 나와야 한다고 말한 이유는
왜냐하면 여러분이 이걸 곱했을 때 이게
이 항이 만들어지는 것이기 때문입니다.
이 7 곱하기 x 더하기 -6 곱하기 이 다른 x를 합니다.
그러면 만들어지는 게 이 항입니다. 그것을 곱했을 때요.
이 항은 x 곱하기 x에서 나오고요.
-42는 7 곱하기 -6에서 왔고요.
어쨌든 간에 이제 이 지점까지 왔습니다.
우리가 이렇게 말할 겁니다. "좋아. 음. 우리가 어떻게, 우리가 어떻게 두 수를 구할 수 있을까?
그걸 곱해서 0이 나올 때는."
음. 그 말은 즉 둘 중에 하나 혹은 둘 다가 반드시 0이
되어야 한다는 것입니다.
그러므로 그 말은 x +7 이 0 이어서, 양 변에서
7을 빼야 한다는 의미합니다.
그 말은 x가 - 7 라는 것입니다.
혹은 x - 6은 0이라고 합니다.
양 변에 6을 더하면 x는 6이 됩니다. x는 6이
되거나 -7이 됩니다.
그리고 저기에 선택지가 있네요.
답은 선택지A 입니다.
다음 문제입니다.
49번 입니다.
이 방정식의 양변에 얼마를 더해야
완전 제곱이 될까요?
그러니까 여러분이 완전 제곱을 만들려고 할 때
여러분은 왼쪽 변을 완전 제곱처럼 보이게
만들고 싶어할 겁니다.
그리고 완전 제곱이라고 하는 게 뭘 까요?
그러니까 만약 내가 x + a 제곱을 갖고 있다면 그건 x + a
곱하기 x + a와 같은 것입니다.
그리고 그것은 x 곱하기 x, 그러니까 x제곱이 됩니다.
x 곱하기 저 a를 하면 +ax가 됩니다.
그리고 이제 이 a와 이 x를 곱합니다.
그러므로 또 다른 ax가 나옵니다.
더하기 이 a 곱하기 저 a를 합니다.
그러니까 +a 제곱을요.
그리고 저것은 x 제곱과 같습니다.
더하기, 이제 우리는 이것들 두 개가 있지요. 더하기 2ax 더하기 a제곱이 됩니다.
그러니까 근본적으로 우리는 이것을, 우리는 이 왼 변을
이런 형태로 바꿔줘야 합니다.
그러니까 이런 걸 완전 제곱이라고 말합니다.
이게 x + a 제곱과 같다고 말할 수 있어요.
그러니까 어떻게 그럴 수 있는지 생각해 봅시다.
만약 x 제곱 - 8x 는 5와 같다고 해 봅시다. 그리고 여기에
모종의 이유로 공간을 좀 둘게요. 왜냐하면 우리는 여기에
어떤 것을 더하거나 뺄 거거든요. 그러니까 완전 제곱 같네요.
그러니까 생각해 봅시다.
여러분이 이런 형식을 갖고 있을 때, 이런 형태를 완전 제곱으로
만들고 싶을 때, 바로 여기의 이 계수가 무엇이든지
바로 여기의 이항은 이것의 반절의 제곱이어야 합니다.
a 제곱은 2a의 반절의 제곱입니다.
그러니까 만약 우리가 -8의 반절을 찾으면 그건 -4가 되는 거지요.
이런 경우 만약 2a가 8과 같다고 한다면 a는
-4가 될 것입니다.
그러니까 -4제곱은 뭐지요?
+16 입니다.
그리고 이건 방정식입니다.
그러니까 여러분이 방정식의 한 변에 어떤 걸 해주면 여러분은
반드시 방정식의 다른 한 변에도 같은 걸 해주어야 합니다.
그러니까 여러분은 저것 또한 같다고 말할 수 있지요.
그러므로 여러분은 양변에 16을 더해주어야 합니다.
그렇지 않으면 여러분은 방정식을 바꿔버리는 겁니다.
이제 이것은, 다행히도 이미 완전 제곱으로 만드는 법을
깨달았겠네요.
내 말은 여러분이 여기 위에 있는 패턴을 보면 여러분이
"좋아. 만약 내가 -4에 그 자신을 더해 두 배 하면 -8이 나오겠군" 이라고 말할 수 있습니다.
만약 그 자신을 곱하면 16이 나올 겁니다.
그러니까 이것은 x - 4의 제곱입니다.
저것은 25와 같고요.
그리고 사실 단지 여러분이 궁금해한다면, 그리고 우리가 이런 걸
칸 아카데미에서, 몇 개의 다른 비디오에서 했었는데,
이게 어떻게 이차 방정식을 입증하는지 입니다.
근본적으로 여러분이 임의의 a, b, 그리고 c를 가지고 완전 제곱을
만든다면 여러분은 이차 방정식을 얻을 겁니다.
아시다시피 우리가 10분 전에 봐 봤지만 이건 이해하기에
불가능할 정도로 어려운 것이 아닙니다.
문제는 단지 묻고 있습니다. "이 방정식의 양 변에 무엇을
더해야 하나요?
이 방정식의 양 변에 무엇을 더해야
완전 제곱이 되나요?"
그러니까 그 답은 16입니다.
그러나 동시에 이런 문제가 나올 수도 있지요. 완전 제곱 방정식의
해를 구하라고요.
그리고 여러분이 말하길 "오. x -4의 제곱은 25네.
그러니까 x - 4는 플러스, 마이너스 5겠다."
그러고 나서 여러분이 말하길 "x는 플러스,
마이너스 5 + 4 겠네."
그러고 나서 여러분이 "좋아. 4 + 양수 5는
9이군.
4 + 음수 5는, -1이거나."
어쨌든 간에 문제에서 그걸 묻지는 않았으니까
이걸 생각하는 데에 너무 많은 시간을 쓰진 않을 겁니다.
이걸 생각하는 데에 너무 많은 시간을 쓰진 않을 겁니다.
어디 보자. 문제 50번입니다.
어디 보자. 문제 50번 이요.
제가 50번과 51번 문제를 복사해서 붙여 넣을게요.
좋습니다. 이 이차 방정식 x 제곱 + 6x = 16 의
해는 무엇일까요?
그리고 여기의 유혹은 정말로 이걸 직선의 방정식을 풀 때처럼
풀어보려고 하는 것입니다.
잘 모르겠네요. x를 인수로 뽑아내면.. 잘 모르겠습니다
더 어떻게 해야 하는 지요.
그러나 중요한 것은 이게 이차 방정식이라는 걸
깨닫는 겁니다.
그리고 이걸 푸는 가장 쉬운 방법은 모든 항을 한 변에
옮기면 다른 변에는 0이 남습니다.
그러고 나서 인수분해 해주거나 혹은 진짜
실제 이차 방정식을 풀어 줍시다.
혹은 완전 제곱으로 만들 거나요. 뭐든 여러분이 해야 하는 쪽을 하세요.
그러니까 양 변에서 16을 빼 봅시다.
그리고 x 제곱 + 6x - 16 = 0 이 됩니다.
전 지금 이렇게 만들기 위해서 양 변에서 16을 뺐습니다.
그리고 그냥 이차 방정식으로 뛰어들기 전에
인수분해가 가능한 지 점검해 봅시다.
그러니까 우리가 그걸 더할 때 6이 되고, 그러니까 양수 6이요.
그리고 우리가 그걸 곱할 때 -16이 되는 두 숫자가 무엇이 있습니까?
그리고 다시 한 번 이게 -16이기 때문에 만약 여러분이
두 숫자를 곱한다면 음수가 나와야 합니다.
그 수들은 서로 다른 부호를 가져야 합니다.
하나는 양수이고 다른 하나는 음수여야 합니다.
그리고 그 차가 6이 될 겁니다. 왜냐하면 하나가 양수이고
하나는 음수이기 때문입니다.
그러니까 생각해 봅시다.
그러므로 만약 마이너스.. 음, 8과 2라면 16이 되겠네요.
그들은 6만큼 떨어져 있습니다.
그러니까 만약 + 8과 -2라면 맞네요.
+8과 -2라면 +6이 됩니다.
그러니까 x + 8 곱하기 x - 2입니다.
그리고 이건 정말 많은 과정이 걸렸네요.
좋습니다. 두 숫자가 무엇인가요?
16이니까
좋습니다.
8과 2이네요.
음. 두 수는 서로 다른 부호를 가져야 합니다.
그러나 여기에 양수가 하나 있으니까 어떤 수든 간에 큰 수가
아마도 양수 쪽이 될 겁니다.
그러니까 양수 8과 음수 2입니다.
예. 여러분이 그걸 더하면 그건 -6이 나옵니다.
예. 들어 맞네요.
그러므로 여러분께서는 여길 0으로 맞추세요
그리고 여러분이 "좋아. 여기가 0이 되어야 하거나 혹은 저기가
0이 되어야 해" 하고 생각해야 합니다.
그러니까 x는 -8 이거나..
만약 x + 8이 0이라면 양 변에서 8을 빼면
x가 -8이 나옵니다.
내가 이 단계를 넘기지 말았어야 했는데요.
그러나 여기에서 그 단계를 할 겁니다.
혹은 x -2 가 0과 같습니다.
양 변에 2를 더하면 x는 2가 나옵니다.
어떤 x가 이 항을 0으로 만들어 주나요?
그리고 이걸 검사해 볼 수 있습니다.
그러므로 x는 -8 혹은 2가 될 수 있습니다. 그리고 정답은 선택지 C입니다.
문제 51번입니다.
리엔은 x 제곱 + 4x = 6을 완전 제곱으로 만들어
제대로 풀었습니다.
어떤 방정식이 그녀의 답의 일부입니까?
좋습니다. 그러니까 같은 거군요.
x 제곱 + 4x 입니다.
그리고 여러분이 완전 제곱을 만들어주려면 여기에 무언가를
더해야 합니다.
그러므로 약간의 공백을 남길 게요.
6과 같습니다.
그러므로 내가 여기에 이 방정식이 완전 제곱처럼 보이기 위하여
무엇을 더할 수 있을까요?
음. 우리가 두 세 문제 전에 했던
패턴이네요.
여기가 무엇이든 간에 이것의 절반의 제곱이어야 합니다.
그러니까 4입니다. 음. 저것의 절반은 2입니다.
2 제곱은 4입니다.
그러니까 저 변에 4를 더해야 합니다.
만약 내가 저 변에 4를 더한다면 나는 이 변에도
또한 4를 더해 주어야 합니다,
그리고 이제 이것은 2 더하기 2로 4 입니다.
2 곱하기 2는 4입니다.
그러니까 x + 2의 제곱입니다.
그리고 여러분이 직관을 정말로 얻길 바랍니다.
완전 제곱을 만들기 위한 단계를 기억하지 마세요.
내가 여러분께 원하는 것은 왜 그런지 정말로 이해하는 것입니다.
이것은 저것의 절반의 제곱입니다.
그리고 우리는 이것을 처음에 봤었지요.
많은 이항식을 제곱해보고 여러분이 직접 그게 맞는지
확인해 보도록 하세요.
어쨌든 간에 이것은 x + 2의 제곱입니다.
그건 뭐와 같느냐 하면.. 6 더하기 4는 10이지요.
그래서 정답이 선택지 B입니다.
그래서 정답이 선택지 B입니다.
우리가 한 개 더 풀 시간이 있을 것 같아요.
한 문제 더 풀어 봅시다. 문제 32번 입니다.
복사해서 이제 붙여 넣기 했습니다.
카터는 인수분해로 방정식을 풀고 있습니다.
어떤 수식이 그의 올바른 인수 중의 하나가 될 수 있을까요?
다시 한 번 제가 그 모든 것 안에 있는 숫자들을
개별적으로 분리 해보겠습니다.
그리고 이 모든 것은 5로 나눌 수 있습니다.
그냥 머리 속에서 단순화 시켜 봅시다.
그러니까 만약 이 모든 것을 5로 나눈다면, 사실 내가 그냥
이 수식의 양 변을 5로 나눌 수 있습니다.
0 나누기 5는 0입니다.
그러고 나서 저 왼 변을 5로 나누면 2x제곱
- 5x + 3 = 0 이 됩니다.
그러니까 만약 여기가 2x 제곱이면 그러니까 두 숫자를
곱하면 3이 나올 것입니다. 그러니까
이걸 조금만 생각해 봅시다.
사실 여기에 써 볼게요. 왜냐하면 좀 더 자리가
필요 할 것 같거든요.
2x 제곱 - 5x + 3 = 0 입니다.
그리고 수식의 양변을 방금 5로 나누어서
이것이 나왔습니다.
그러니까 여기서 우리가 무얼 할 수 있는지 봅시다.
그러니까 우리는 2x 제곱을 여기에 갖고 있고 문제는 이미
일종의 힌트를 우리에 줬습니다. 우리가 정수 해답을 가지게 될 거라는 점을요.
그러니까 이걸 인수분해 할 수 있지요.
그러니까 예감은 이것은 2x , 아시다시피
더하기 어떤 것이 될 거라는 겁니다.
+ a 라고 해 봅시다.
곱하기.. 음. 뭘 곱해야 하죠?
곱하기 아마 x, 맞나요?
2x 곱하기 x는 2x 제곱입니다.
자. 저건 완전히 명확하지가 않습니다. 만약 문제가
우리가 이걸 인수분해 할 수 있다는 점을 이미 말해주지 않았다면
당신은 아마 근의 공식이나
혹은 그런 것을 사용해야 했을 겁니다.
사실 근의 공식은 여기서 사용하기에는 약간 지나친 면이
있는데 왜냐하면 여러분은 그냥 이걸 일종의
기계적 접근으로 해결할 수 있기 때문입니다.
그러나 여러분이 직감을 가질 수 있는지 봅시다.
그러니까 2x 더하기 어떤 것 곱하기 x 더하기
다른 어떤 것이 됩니다.
만약 우리가 이걸 곱해서 꺼내면 2x 곱하기 x는 2x제곱이
될 겁니다.
2x 곱하기 b는 +2bx 입니다.
a 곱하기 x는 +ax 입니다.
a 곱하기 b는 +ab 입니다.
그리고 무엇이 나오는 지 봅시다.
그리고 무엇이 나오는 지 봅시다.
그러니까 더하기 2b + ax 더하기 ab입니다.
여기는 2x 제곱이고요.
좋습니다. 이제 패턴을 맞출 수 있겠네요.
이게 원래의 것입니다.
그러니까 2 곱하기 b 더하기 a는.. 이 항은
여기의 이 항과 같은 것입니다.
그리고 저 항은 바로 여기의 저 항과 같은 것입니다.
그리고 저 항은 바로 여기의 저 항과 같은 것입니다.
그러니까 처음으로, 여기에 양수 3이 있습니다.
그러니까 내가 두 숫자를 곱하면 양수 3이 나옵니다.
그러므로 그 숫자는 둘 다 양수이거나 혹은 둘 다 음수여야 합니다.
그러고 나서 다른 재미있는 점은 우리가..
2 곱하기 둘 중의 하나에 더하기 다른 것을 하면
음수가 나온 다는 점입니다.
그러니까 여러분이 음수를 다룰 때의 유일한 조건은
그리고 여러분이 그냥 이것과 a를 곱할 때 그리고 그것을
서로 더하면 다른 음수를 구할 수 있을 때의 유일한 조건은
둘 다 음수일 때입니다.
이것은 그들이 둘 다 음수여야 한다는 의미입니다.
왜냐하면 이것이 양수이기 때문입니다.
그러고 나서 어떤 음수 부호 없이 이걸 더했기 때문에
음수가 나왔습니다. 이 말은
저것도 또한 음수여야만 한다는 겁니다.
그러니까 어디 봅시다.
3을 시험해 봅시다. -3이랑 -1을요/
만약 -3과 -1이라고 합시다.
그러면 맞네요.
예.
만약 b가 -1이고 a가 -3이라면
2 곱하기 -1은 -2입니다.
-3이고요.
맞습니다. 그러니까 b는 -1이고 a는 -3입니다.
여기의 이건 약간 예술 형식입니다.
내 말은 공식을 무작정 넣어 해결하는 게, 매우 기계적으로 이걸
해결하는 게 아니라는 겁니다.
근의 공식도 방법의 하나입니다. 그러나 이 방법이 가장 좋은 방법입니다.
적어도 이런 것들 없이 어떻게 하는 지 알고 있습니다.
그러니까 우리는 a와 b가 뭔지 알고 있습니다.
그러니까 이건 2x이고 a는 -3입니다.
2x - 3 곱하기 x +b인데 b는 -1입니다.
그러니까 인수분해 됐습니다.
그러니까 2x - 3 곱하기 x + 1입니다. 답은 뭐죠?
여기에 있군요.
2x - 3 입니다.
그리고 시간이 다 끝났네요.
다음 강의에서 봅시다.