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우리는 3차원 세계에 살고 있습니다.
모든 물체는 길이와
폭,
그리고 높이가 있죠.
그럼 우리가 사는 세상이 2차원이라면 어떨까요?
우리가 존재할 수 있는 하나의 평면으로
납작하게 짓눌리겠지요.
물론 기하학적으로 말하면 그렇다는 겁니다.
그런 세상은 어떤 모습이고 어떻게 느껴질까요?
이것이 바로 에드윈 애보트의 1884년 중편 소설,
'평평한 세계'의 전제였습니다. (번역서명: 이상한 나라의 사각형)
'평평한 세계'는 3차원 세계를 보게 된
사각형이 겪은 갖가지 고난을 보여주는
재미있는 수학적 실험서입니다.
그런데 대체, 차원이 뭐죠?
여기서 차원이란 방향을 뜻합니다,
우린 방향을 직선으로 묘사할 수 있어요.
방향이 차원이 되려면
다른 모든 차원과는 수직을 이루어야만 합니다.
그러니까, 1차원 공간은 그저 직선이고
2차원 공간은 수직인 두 개의 직선으로
정의되죠.
이 두 직선은 평면을
마치 종이처럼 표현합니다.
그리고 3차원 공간은
수직인 세번째 직선을 가지고 있어요.
이 세번째 직선으로 인해 높이가 생겨
우리가 익숙한 이 세계가 만들어지는거죠.
그럼 4차원은 어떨까요?
5차원은요?
그리고 11차원은요?
이렇게 수직인 직선을 어디에 새로 그려넣죠?
여기가 바로 '평평한 세계'가 도움이 되는 부분이에요.
우리의 주인공인 사각형의 세상을 볼까요.
'평평한 세계'에는 기하학적 도형들이 살고 있습니다.
이등변 삼각형에서
정삼각형,
사각형,
오각형,
육각형, 그리고
쭉 올라가서 원까지 말이에요.
이런 도형들은 모두 평평한 세계를 돌아다녀요,
평평한 삶을 사는거죠.
그들은 면의 앞쪽에 눈을 하나씩 갖고 있는데
그들의 관점에서 볼 때, 세상이 어떻게 보이는지
생각해보도록 하죠.
그들이 보는 것은 기본적으로 1차원이에요,
직선 말입니다.
하지만 애보트의 '평평한 세계'에서는
가까운 물체가 환하게 보여서
깊이를 알아보는 방법이 됩니다.
그래서 삼각형은 사각형과 다르게 보이고
원도 다르게 보이고
그렇게 되는거죠.
그들의 두뇌는 3차원을 이해할 수 없어요.
사실 그들은 3차원의 존재를 완강하게 부정합니다.
간단하게 말해서, 3차원이 그들이 사는 세상의 일부도 아니고
경험해본 바도 없기 때문이에요.
그들에게 필요한 것은
사실
약간의 부풀림이죠.
어느 날, 구(球)가 '평평한 세계'에 나타납니다.
우리의 영웅 사각형을 만나러 온 겁니다.
구(球)가 '평평한 세계'를 통과할 때
사각형의 입장에서 보면
이렇게 보입니다.
이건 작고 정직한 그를 완전히 정신 나가도록 만들어요.
그리고나서 구(球)는 사각형을 들어올려
3차원으로 데려 갑니다.
그 방향은 '평평한 세계'에 사는 어느 누구도 가보지 못한 방향이죠.
구(球)는 사각형에게 자신의 세상을 보여 줍니다.
여기서는 사각형도 모든 것을 볼 수 있죠:
건물의 모양,
지구에 감추어진 모든 보석들,
그리고 친구들의 몸속까지도요.
그 모습은 아주 이상하게 보일 겁니다.
불쌍한 사각형이
3차원을 받아들이고 나자,
그는 구(球)에게 4차원과 더 높은 차원에
가볼 수 있도록 도와달라고 합니다.
하지만 구(球)는 3차보다 높은 차원은
단호히 거부하고
사각형을 '평평한 세계'로 되돌려 보냅니다.
구(球)가 분노한 것은 이해할만 하죠.
4차원은 우리가 경험한 세상을 통해
이해하기가 아주 어렵거든요.
하이퍼큐브(초6면체)를 방문하여
4차원으로 끌어 올려지기 전에는
4차원은 경험해 볼 수 없어요.
하지만 꽤 근접해 볼 수는 있죠.
구(球)가 처음으로
2차원 세계를 방문했을 때,
구(球)는 여러 개의 원처럼 보였습니다.
'평평한 세계'에 처음 닿았을 때는
한 점에서 시작해서
중간 지점까지는 그 원이 점점 커지다가
그 다음엔 다시 줄어 들었던 걸 생각해 보세요.
우리는 이 과정을 3차원 물체의
2차원적 단면이 이어지는 것으로 생각해 볼 수 있어요.
그럼, 우리는 4차원 물체를
3차원에서 보는 것도 똑같이 생각해 볼 수 있을 겁니다.
3차원 구면(球面)에 상응하는
4차원의 대상을 초구면(超球面)이라고 부릅니다.
4차원의 물체가 3차원을 통과할 때는
아마 이렇게 보일 겁니다.
4차원 물체를 나타내는
다른 방법을 한 가지 더 생각해보기로 하죠.
점이 하나 있다고 해보죠,
이건 0 차원 형상이에요.
이제 이걸 1인치 늘이면
1차원 형상인 선분이 생깁니다.
이 선분 전체를 1인치 늘이면
2차원의 정사각형이 됩니다.
이 정사각형 전체를 1인치 늘이면
3차원인 정육면체가 되죠.
이렇게 하면 우리가 무엇을 얻게 되는지 보실 수 있습니다.
정육면체를
1인치 늘여보죠.
이번에는 기존의 3개 방향에 모두 수직 방향으로 늘이는 겁니다.
그러면 4차원의 초6면체(하이퍼큐브)가 되요.
4차원 정육면체라고도 할 수 있죠.
우리가 아는 한,
세상 어디엔가는 4차원의 생명이
있을 수도 있어요.
가끔씩 우리가 사는 이 복잡한 3차원 세계에
자신의 머리를 밀어넣고는
뭐가 그리 복잡한지 들여다 보기도 하겠죠.
사실 우리가 알 수 없는,
완전히 다른 형태의 4차원 세계가
있을 수도 있습니다.
우리에게는 영원히 보이지 않겠죠.
그것은 우리가 인지하는 방법의 본질 때문입니다.
이렇게 보니 여러분의 작고 구같은 마음이 환각에 빠지는 것 같지않아요?