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증명이란 무엇일까요?
그리고 증명이 왜 그렇게 수학에서 중요할까요?
증명은 수학자, 논리학자, 통계학자, 경제학자, 건축가, 공학자,
그리고 이론을 만들고 테스트하려는 모든 사람들에게
아주 탄탄한 기반을 제공합니다.
정말 대단하죠!
맨 처음부터 시작해봅시다.
제가 유클리드(Euclid)라는 친구를 소개하죠.
"클리드, 당신을 보고 있어요"
그는 2,300년전에 그리스에서 살았습니다,
그리고 많은 사람들이 그를 기하학의 아버지라고 불렀습니다.
그래서 여러분들이 기하학 팬레터를 어디로 보내야할지 궁금했다면,
알렉산드리아에 있는 유클리드가 적당한 인물이겠군요.
유클리드는 수학에서 많은 것을 만들거나 발견한 것으로는 유명하지 않습니다,
그렇지만 그는 수학을 쓰고, 표현하고 생각하는 것에 대한
방법을 혁신적으로 만들었습니다.
유클리드는 게임의 규칙을 만들어 수학을 공식화하기 시작했습니다.
이런 게임들의 규칙을 공리라고 부릅니다.
여러분들이 규칙을 갖게 되면, 유클리드는 여러분들이 참이라고 생각하는 것을
증명하는데 공리를 사용하라고 말합니다.
만약 공리를 사용할 수 없다면,
여러분의 정리(Theorem)나 아이디어는 거짓일 수 있습니다.
여러분들의 정리가 거짓이라면,
그 정리를 이용한 어떠한 정리도 거짓입니다.
마치 잘못 세운 기둥 하나 때문에 집이 무너질수 있는 것과 같습니다.
그것이 바로 증명이라는 것입니다:
정리가 참인지 의심하는 것을 없애기 위해 잘 만들어진 규칙을 사용하는 것이 증명입니다.
그래서 여러분들은 수학을 만들기 위해서
벽돌처럼 정리들을 사용하게 됩니다.
한가지 예를 보죠.
이 두 개의 삼각형이 같은 크기와
모양이라는 것을 증명하고 싶다고 해보죠.
다시 말해, 두 삼각형은 합동이라는 것입니다.
한 가지 방법은 한 삼각형의
모든 세변이 다른 삼각형의
모든 세 변과 합동이라는 증명을 써보는 겁니다.
그럼 어떻게 증명을 할까요?
먼저, 우리가 아는 점을 써보죠.
우리는 점 M이 변 AB의 중점이라는것을 알고 있습니다.
그리고 우리는 변 AC와 변 BC는 이미 합동이라고 알고 있습니다.
자 보죠. 중점 M에서 무엇을 알 수 있나요?
운좋게도 저는 중점의 정의를 알고 있습니다.
기본적으로 중간에 있는 점이라는 말이죠.
이것이 AM과 BM은 길이가 같다는 것을 의미합니다,
왜냐하면 M은 변 AB의 정확하게 중앙에 있으니까요.
다시 말해서, 이 삼각형들의 밑변들은 합동입니다.
두번째 과정을 써보겠습니다.
대단하죠! 지금까지 합동인 두쌍의 변을 알았어요.
마지막 부분은 쉽습니다.
왼쪽 삼각형의 세번째 변은 CM입니다,
그리고 오른쪽 삼각형의 세번째 변 또한
CM 입니다.
두 삼각형은 같은 변을 공유하고 있네요.
물론 그것 자체로 합동입니다!
이런것을 재귀적 성질이라고 합니다.
모든 사물은 그 자신과 합동입니다.
이것을 세번째 과정에 쓰겠습니다.
자! 여러분들은 왼쪽 삼각형의 모든 세변들이
오른쪽 삼각형의 세변과 합동이라는 것을 증명했습니다.
게다가, 삼각형의 SSS 합동 정리로
두 삼각형은 합동입니다.
증명을 끝냈을 때, 저는 유클리드가 했던 것을 따라하기 좋아합니다.
유클리드는 증명의 끝에 QED라는 단어를 기입했습니다.
그것은 라틴어로 "Quod Erat Demonstrandum"의 약자입니다,
말 그대로 번역하면
"증명되어진 것" 이라는 뜻입니다.
하지만 저는 그 뜻이 "내가 했던 것을 보라" 라고 생각되어집니다.
여러분들이 머리속에 생각하고 있는 것이 들리는군요.
그럼 왜 증명을 공부해야할까요?
한가지 이유는 증명이 여러분들을 논쟁에서 이길수 있도록 해줍니다.
미국의 유명한 대통령이었던 에이브라함 링컨(Abraham Lincoln)은
마음이 흐트러지지 않게 하기 위해
"원론"이라는 유클리드의 기하학 책을 책장 한 곳에 항상 두었습니다.
또 다른 이유는 여러분들이 많은 돈을 벌 수 있습니다.
제 말 들으셨죠.
백만달러(약 11억원)를 벌 수 있습니다.
매사츄세스(Massachusetts)에 있는 클레이 수학연구소(Clay Mathematics Institute)에서는
밀레니엄 문제(The Millenium Problems)라는 많은 미해결 이론들 가운데
어떤 것이든 증명한 사람들에게 백만달러의 상금을 줍니다.
그 문제들중 몇가지는 90년대와 2000년대에 증명이 되었습니다.
하지만 돈이나 논쟁을 떠나서
증명은 세상 어디에나 존재합니다.
증명은 건축, 예술, 컴퓨터 프로그래밍 그리고 인터넷 보안에도 숨겨져 있습니다.
아무도 증명을 이해하지 못하거나, 해내지 못 한다면,
사람들은 세상에서 꼭 필요한 부분들을 발전시킬 수 없게 됩니다.
마지막으로, 우리는 증명은 푸딩에도 들어있다는 것을 알고 있습니다.
그리고 푸딩은 맛있습니다. QED.